SUR UNE SURFACE DE RÉVOLUTION DU QUATRIÈME DEGRÉ 93 
et du plan des anciens r, y, on trouve sans peine pour cette 
équation 
Lax(a— z}? sin? à = cosa[(a? +2 a z— 2?) a? sin? « — 2(a? —2?}]; 
la construction de la couche n'offre aucune difficulté; il est à peine 
utile de dire qu'on en doit seulement conserver la partie qui est 
située à l’intérieur du contour apparent, formé par la courbe méri- 
dienne qui passe par le point double, et qu’elle touche ce contour 
apparent au point même où se trouve le point double de l’espace. 
Il est enfin bien aisé de rectifier la courbe. En partant de lélé- 
ment linéaire de la surface, on voit de suite que la différentielle de 
l'arc de la géodésique est donné par la formule 
s2 
COS Tree 
a a (2+sin u) cos uw 
4 COS a F2 
HS 
= - du ; 
Sin ete in7 00 
si l’on désigne par S la longueur totale de la courbe, on aura 
d'après la discussion précédente 
k S = 2 T4 (@+sinvu)cosu 
a 1,  Vsin?a — sin 
l'intégrale s'effectuera immédiatement au moyen de la substitution 
déjà employée 
Sin 4 — Sin a sin v, 
qui donne 
on vérifie donc que la longueur totale de la ligne géodésique est 
indépendante de «, et qu’elle est égale au double de la circonférence 
du parallèle maximum, qui est une ligne géodésique limite, ou à 
la longueur de la ligne méridienne. D’après cela, il sera bien aisé 
de réaliser mécaniquement les lignes géodésiques ; on pourra faire 
d’abord un modèle en bois de la surface; puis on prendra un fil, 
de longueur égale au double de la circonférence du parallèle 
maximum ; on en réunira les deux extrémités; on le tordra en 8, 
on passera les deux boucles de 8 en dessus et en dessous du modèle 
de bois, de manière à appliquer et à tendre le fil sur ce modèle, 
en le déformant de façon qu'il reste tendu sur la surface, on pourra 
le faire coïncider successivement avec les diverses lignes géodé- 
siques, 
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