SUR LES PERSPECTIVES DES ASYMPTOTIQUES D'UNE SURFACE, 
par M. G. KŒNIGS. 
En janvier dernier j'ai fait connaître dans les Comptes-Rendus de 
l’Académie des Sciences le théorème suivant : 
Pour. qu'un réseau plan de courbes soit la perspective des lignes 
asymptotiques d'unesurface, il faut et il suffit que ses invariants soient 
égaux. Le réseau plan supposé connu, la surface se détermine par 
les quadratures. 
Il y a donc intérêt à rechercher des réseaux plans à invariants 
égaux. On en a une première classe dans les réseaux plans ortho- 
gonaux et isothermes et bien entendu leurs transformés homogra- 
phiques. 
Considérons sur une surface quelconque un réseau conjugué qui 
corresponde à une équation de Laplace à invariants égaux; la 
perspective de ce réseau sur un plan quelconque sera évidemment 
un réseau plan à invariants égaux. 
Donc, de toute surface sur laquelle on connait un réseau con- 
jugué à invariants égaux on peut déduire par quadratures des 
surfaces dont les asymptotiques aient même perspective sur un 
plan donné que le réseau conjugué. 
On connaît tous les réseaux conjugués à invariants égaux 
tracés sur une quadrique ; ils se déduisent par homographie des 
systèmes sphériques orthogonaux et isothermes, et ceux-ci se 
déduisent par stéréographie des systèmes plans analogues. De là 
suit qu’à côté de ces systèmes plans déjà mentionnés viennent se 
placer d’autres réseaux plans à invariants égaux, à savoir, les 
réseaux qui sont la perspective des réseaux conjugués à invariants 
égaux tracés sur les quadriques. 
Cette notion de réseaux plans à invariants égaux offre, croyons- 
nous, le plus grand intérêt. 
On peut dire qu’ils généralisent perspectivement la plus grande 
partie des propriétés des réseaux orthogonaux et isothermes. On 
peut à leur sujet se poser des problèmes tels que le suivant : une 
famille de courbes étant donnée, lui adjoindre une autre famille de 
telle sorte que le réseau obtenu ait ses invariants égaux. Lorsqu'il 
s’agit d’une famille de droites, on résout le problème avec la plus 
grande facilité; les quadratures s’achèvent, si l’on conduit con- 
venablement les notations, et l’on parvient aux formules que j'ai 
fait connaître en 1888 aux Comptes Rendus pour les lignes : asymp- 
totiques des surfaces réglées. 
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