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Séance du 25 Juin 1892 
PRÉSIDENCE DE M. BOUVIER 
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SUR LES SURFACES RÉGLÉES QUI SE TRANSFORMENT HOMOGR A PHIQUEMENT 
EN #LLES-MÈMES, 
par Ch. BIOCHE. 
Ce qui suit est un résumé d’études que j'ai entreprises depuis 
quelque temps et dont j’ai communiqué des résultats tant à la 
Société Philomathique qu'à la Société Mathématique. Je compte 
d’ailleurs compléter ces études, et rédiger un mémoire plus déve- 
loppé; quant à présent je me bornerai à énoncer quelques théorèmes 
et à indiquer sommairement la marche que j'ai suivie. 
1) Soit une courbe gauche définie par les équations. 
(H) LE NAN OMAN NS US 
par rapport à un tétraèdre de référence. M. Halphen a fait remar- 
quer (Mémoires des savants étrangers, tome XX VIII et Acta Mathe- 
matica, tome III) qu’on peut faire correspondre à cette courbe une 
équation différentielle linéaire du 4° ordre, sans second membre, 
dont les fonctions lu, h2, hs, h4, seraient 4 solutions indépendantes. 
M. Halphen dit que la courbe est attachée à l'équation en question. 
À chaque système de solutions de cette équation correspond une 
courbe, et les diverses courbes attachées à une même équation sont 
transformées homographiques les unes des autres. 
D'autre part, M. Kœænigs a montré (Comptes-rendus de l’Académie 
des Sciences, tome CVI, 1888, p. 51) que, étant donnée une courbe 
(H) = ONU) 
on peut en déterminer une autre 
(&) mi = gi () 
telle que les équations 
Ti hi (A) + gi (À) 
représentent une surface réglée ayant pour lignes asymptotiques 
non rectilignes les courbes u — constante. 
2) Les fonctions g dépendent des fonctions À et d’une fonction 
arbitraire. On peut se proposer de chercher les relations qui exis- 
tent entre les équations auxquelles sont attachées les courbes (H) 
