SUR LES SURFACES RÉGLÉES QUI SE TRANSFORMENT 131 
et (G); ou dans quels cas il existe entre ces équations des relations 
données. En particulier, il y a lieu de chercher dans quels cas ces 
courbes sont attachées à la même équation. On peut reconnaitre 
que ce problème revient à celui-ci : trouver les surfaces réglées qui 
se transforment homographiquement en elles-mêmes. C’est ce pro- 
blème qui fait l’objet de la présente note. 
3) On peut simplifier notablement la solution au moyen de cette 
remarque évidente : si une surface se transforme homographique- 
ment en elle-même, sa ligne double se conserve dans cette transfor- 
mation. Cette ligne appartient donc à la catégorie des courbes 
connues sous le nom de courbes anharmoniques, et qui ont été 
étudiées par MM. Klein et Lie, puis par M. Halphen et M. Fouret. 
Comme cas particulier la ligne double peut dégénérer en une droite 
ou un système de deux droites. 
4) Il peut arriver que dans la transformation les points homo- 
logues soient situés sur une même génératrice; chaque génératrice 
se correspond alors à elle-même. Je dirai, dans ce cas, qu'ilya 
conservation des génératrices. Les deux équations auxquelles sont 
attachées les courbes (H) et (G) sont identiques. 
Il peut arriver que les points homologues soient situés sur des 
génératrices différentes. Je dirai, dans ce cas, qu’il ya transformation 
des génératrices. Alors les équations auxquelles sont attachées les 
courbes (H) et (G) ne sont pas identiques, mais elles se ramènent 
l’une à l’autre par un changement de la variable indépendante. 
5) On peut reconnaitre que, si la ligne double est une courbe, le 
second cas peut seul se présenter. Il en résulte que la transformation 
avec conservation des génératrices ne peut se réaliser que pour des 
surfaces transformées homographiques des surfaces à plan direc- 
teur ; il suffit donc de chercher, parmi ces dernières, celles qui se 
transforment homographiquement en elles-mêmes avec conservation 
des génératrices. 
Or, on peut définir une surface à plan directeur au moyen de son 
plan directeur et d’une ligne asymptotique. Si le plan directeur est 
z = 0, les équations de la ligne asymptotique étant 
œ — (7) y — ÿ (z) 
l’équation de la surface est 
Mantes NE SU Sr à (2) 
DRE nas (6) 
les accents désignant des dérivées prises par rapport à z, Il reste 
