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à chercher dans quels cas la surface se transforme en elle-même 
par une transiormation homographique qui n’altère pas la coordon- 
a :. On trouve une équation de condition fire les fonctions + 
ÿ. Cette équation qui contient les dérivées #” et Ÿ” peut s'intégrer 
ie première fois ; le résultat ainsi obtenu est facile à interpréter ; 
il exprime que la courbe donnée appartient par ses tangentes à un 
complexe linéaire. On. peut en conclure facilement le théorème 
suivant : 
La condition nécessaire et suffisante pour qu'une surface réglée 
soit transformable homographiquement en elle-même, avec conservation 
des génératrices, est que cette surface appartienne à une congruence 
linéaire. 
6) S’il y a transformation des génératrices la ligne double peut 
être soit une droite, soit une courbe anharmonique; on est conduit 
ainsi à deux catégories de surfaces que je vais définir en donnant 
pour chacune une construction géométrique. 
1re catégorie. — Soit ABCD le tétraèdre correspondant à une courbe 
anharmonique x; je considère le cône ayant pour sommet A et 
passant par la courbe «. Soit M un point de cette courbe; le plan 
tangent en M coupe l’arête CD en un point H”. La droite MM’ engendre 
une surface de la 17e catégorie. 
2e catégorie.— Soit « une courbe anharmonique, considérons une 
transformation homographique qui conserve la courbe. Soient H et 
M", deux points homologues dans cette transformation, la droite 
MM’ engendre une surface de la 2° catégorie. La courbe « est 
évidemment la courbe double de la surface. Comme cas limite on 
obtient, pour une transformation infinitésimale, la développable 
des tangentes. Dans tous les cas la surface considérée appartient à . 
un complexe tétraédral. 
7) Je n’insisterai pas ici sur diverses particularités telles que les 
constructions géométriques qui permettent d’effectuer les transfor- 
mations, les systèmes de courbes qui se conservent ou se trans- 
forment les unes dans les autres. Je signalerai seulement les 
remarques suivantes : 
Il y a des surfaces qui se transforment en elles-mêmes, soit avec 
conservation, soit avec transformation des génératrices. Ces surfa- 
ces ne peuvent appartenir qu’à la première des catégories dont je 
viens de donner la détermination. J'ai trouvé la condition néces- 
saire et suflisante pour qu’une surface de cette catégorie admette 
une transformation conservant les génératrices, c’est que la ligne « 
appartienne par ses tangentes à un complexe linéaire. 
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