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 Séance du 28 Juin 1890 



PRÉSIDENCE DE M. MABILLE 



Les communications suivantes sont faites à la Société : 



SUR LES PRODUITS DE FACTEURS VARIABLES 



Par M. Désiré ANDRÉ 



1. — Je considère, dans la présente note, le produit Pde plusieurs 

 facteurs, réels ou imaginaires, a, b, c, . . ., l ; ]g suppose que ces 

 facteurs varient chacun d'une manière déterminée, continue ou 

 discontinue, qui ne dépend pas de nous et que nous ignorons ; et je 

 me propose d'examiner ce qu'on peut ou ne peut pas affirmer 

 touchant ces facteurs, dans quelques cas particuliers où Ton connaît 

 une propriété de leur produit. 



2. — Prenons d'abord le cas où, à un instant donné, ce produit 

 est nul. C'est un fait bien connu que, à cet instant, l'un au moins 

 de ses facteurs est égal à zéro. Ce fait est évident lorsque tous les 

 facteurs sont réels ; et il le devient, lorsqu'il y en a d'imaginaires, 

 par la simple considération du produit des modules. 



3. — Si, à un instant donné, le produit P a une valeur déter- 

 minée, différente de zéro, et dont le module est II, on peut toujours 

 assigner une limite supérieure pour la plus petite des valeurs que 

 possèdent, à cet instant, les modules des facteurs a, b, c, .'... l. 



Soient, en effet, a, p, y, . . , . , X, ces valeurs ; a la plus petite 

 d'entre elles ; et n le nombre des facteurs. Le produit a py. . .X est, 

 comme on le sait, égal à II. Par conséquent, la puissance /i'^™^ ^q « 

 ne dépasse pas n ; et a lui-même ne dépasse pas la racine ?i'^™*^ de n, 

 de telle sorte que cette racine est une limite supérieure de «. 



11 suit évidemment de là que si 11 est inférieur ou égal à l'unité, 

 a est aussi inférieur ou égal à l'unité ; et que si n est supérieur à 

 l'unité, a est inférieur à II. 



On énonce parfois ces résultats en disant : « Si un produit est 

 » très petit, l'un au moins do ses facteurs est très petit ; » mais il 

 faut convenir qu'un pareil énoncé manque absolument de précision 

 et partant de clarté. 



