152 D. ANDRÉ 



4. — Lorsque, pendant un certain temps, le produit constant ou 

 variable P conserve le même module II, peut-on dire que le module 

 de l'un au moins de ses facteurs reste, pendant tout ce temps, in- 

 férieur à une limite déterminée ? 



Nullement, car s'il est certain que, à un instant quelconque pris 

 dans ce temps, la plus petite valeur des modules des facteurs soit 

 inférieure à une limite déterminée, il ne l'est pas du tout que, à deux 

 instants distincts, cette plus petite valeur corresponde au même 

 facteur. Il est même visible que le contraire peut arriver, et arriver 

 d'une infinité de façons. 



Pour en donner un exemple très simple, désignons par x une 

 variable réelle, que nous ferons croître, d'une manière con- 

 tinue, de — oo à + oo ; et prenons pour facteurs les trois fonc- 

 tions. 



a;^ — — 



Le produit de ces trois facteurs est constamment égal à l'unité, et 

 il est évident que nous ne pouvons pas dire qu'aucun de ses fac- 

 teurs reste constamment intérieur à une limite déterminée. 



5. — Supposons que, pendant un certain temps, le produit P varie 

 d'une manière continue. Pouvons-nous affirmer que l'un de ses 

 facteurs varie aussi d'une manière continue ? 



Nous ne le pouvons point, car il est pour ainsi dire évident que 

 des fonctions toutes discontinues peuvent très bien avoir pour 

 produit une fonction continue. 



On pourrait donner une infinité d'exemples de ce fait. Pour nous 

 borner à un seul, désignons encore par x une variable réelle, 

 croissant d'une manière continue de 1 à -f- oo , et considérons le 

 produit des deux facteurs a et b, dont le premier est constamment 

 égal à tangx et le second constamment égal à xcotangx. Chacun 

 de ces facteurs est une fonction discontinue de x, et pourtant leur 

 produit, qui est toujours égal à x, en est une fonction continue. 

 Dans cet exemple, les deux facteurs a et 6 sont chacun continus 

 dans certains intervalles. On peut choisir pour a et ^ des fonctions 

 qui, ayant toujours un produit continu, ne soient elles-mêmes 

 continues dans aucun intervalle. C'est ce qui a lieu si l'on prend a 

 égal k X et b égal à x- toutes les fois que x est une fraction ordinaire 

 irréductible, ayant pour dénominateur une puissance de 2 ; et que 

 l'on prenne a égal à — xet b égal à — x-, toutes les fois que cette 

 condition n'est pas remplie. Evidemment, aucun des facteurs ainsi 



