SUR LES PRODUITS DE FACTEURS VARIABLES 



153 



choisis n'est continu dans aucun intervalle, quelque petit qu'il soit, 

 et néanmoins leur produit, qui est constamment égal à a?^ varie 

 d'une manière continue. 



6. — De ce qu'un produit tend vers zéro d'une manière quel- 

 conque, continue ou discontinue, peut-on conclure qu'un de ses 

 facteurs tende vers zéro ? 



On ne le peut pas, car il est facile de trouver des facteurs dont le 

 produit tende vers zéro sans qu'aucun d'eux tende vers cette 

 limite. 



Désignons, en effet, par x une variable réelle, croissant d'une 



manière continue de 1 à -f oo ; par s un entier positif quelconque ; 



par a Qlb les deux facteurs du produit que nous considérons ; et 



choisissons ces deux facteurs de telle sorte que, x croissant de 



2s — 1 inclusivement à 2s exclusivement, a soit, dans tout cet 



\ 

 intervalle, égal à i;^^ -^ et 6 à .^^ _^ ; et que, x croissant de 2s, 



inclusivement à 2 s + 1 exclusivement, a soit, dans tout cet inter- 



valle, égal à -^^— et b à x-^s-i. Si, pour rendre plus clair ce mode de 



variation des facteurs a et b, nous formons le tableau suivant : 



1 



2 



5 





nous voyons immédiatement que les facteurs a et b ne tendent ni 

 l'un ni l'autre vers zéro, quoique leur produit, qui est constamment 



égal à — 



° X 



tende vers zéro d'une manière continue. 



7. — Les résultats, tant négatifs que positifs, qui précèdent, 

 nous montrent combien il faut être prudent quand on raisonne 

 sur les produits de facteurs variables. Assurément, ces résultats ne 

 sont point nouveaux ; mais ils me semblent encore peu connus, et 

 quelques-uns d'entre eux ont un aspect paradoxal. Voilà pourquoi 

 j'ai cru utile de les rappeler à la Société, en les établissant devant 

 elle le plu,s clairement que j'ai pu, et en donnant pour chacun d'eux 

 un exemple, au moins, choisi parmi les plus simples. 



11 



