QUELQUES PROPRIÉTÉS FOCALES DES CONIQUES 183 



quelques-unes intuitives, et que nous nous proposons d'indiquer 

 dans cette note. 



Pour abréger, nous emploierons le plus souvent la notation : 

 ellipse (OA, OB) pour indiquer l'ellipse ayant pour demi-diamètres 

 conjugués OA, OB, et hyperbole (OA, OB) pour indiquer l'hyper- 

 bole ayant OA pour demi-diamètre transverse et OB pour demi- 

 diamètre non transverse conjugué de OA. Il faut bien se rappeler, 

 dans ce cas, que le premier diamètre écrit est toujours le diamètre 

 transverse. 



Il nous arrivera souvent aussi de désigner par une seule lettre a, 

 comme d'usage, la droite CA qui part d'une origine C pour aboutir 

 au point A. Nous rappelons enfin que si l'origine commune est 

 quelconque, la droite BA se représente aussi parA— b. 



2. — Si l'ellipse (OA,OB) a pour foyer lepointF, V hyperbole {0¥, OA) 

 a pour foyer le point B, et l'hyperbole (OF, OB) a pour foyer lepointk. 



Si l'hijperbole (OA, OB) a pour foyer le point F, l'hyperbole (OA, OF) 

 a pour foyer le point B, et l' ellipse (OB, OF) a pour foyer le point A. 



Ces propriétés résultent immédiatement des équipoUences (1) 

 et (2). 



3. — Si OC est égale en longueur et perpendiculaire à OB,et si l'ellipse 

 (OA, OB) a pour foyer le point F, l'hyperbole (OA, OC) apour foyer le 

 même point. , 



Si OC est égale en longueur et perpendiculaire à OB, et si l'hyperbole 

 (OA, OB) a pour foyer le point F l'ellipse (OA, OC) apour foyer le même 

 point. 



En efïet, de OC = ± i OB, on tire OC^ = — OB'^ 



4. — L'ellipse (OA, OB) a pour foyer le point F, et Vhyperbole 

 (OA, OB) a pour foyer le point Y' \ si OAi =0A v'2, OBi = OB v'2, 

 l'ellipse (OF, OF') a pour foyer le point Ai et l'hyperbole (OF, OF') 

 a pour foyer le point Bi . 



Car de OA^ + OB^ = 0F2 , OA^ — OB^ = 0F'« , nous tirons 

 0F2 + OF'2 = 2 0A2 , 0F2 — OF'2 = 2 OB^ . 



5. — Les hyperboles (OA, OB)et (OB, OA) aya^it pour foyers F et F', 

 respectivement, .l'angle FOF' est droit et les longueurs OF, OF' sont 

 égales. 



Car OF'2 = — OF^ , d'où OF' = ±i OF. 



■ 6. — OACB étant un parallélograninie, appelons a, c, b, les lon- 

 gueurs OA, OC, OB. Si OAj, OC^, OB^ sont les bissectrices des angles 

 XOA, XOB, XOC formés par OA, OB, OC avec une droite quelconque, 



