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t si les longueurs OA^, OC^ OB, sont proportionnelles à y^r, ^/b", yT? 

 le point C^ se^^a foyer de l'ellipse (OA,^, OB^). 



Car, en prenant OX pour origine des inclinaisons, OA = OA^, 

 OC = OCJ, OB = 0B2 ; or OA + OB = OC. 



Cor. — Si OACB est un parallélogramme, menons, suioant les bissec- 

 trices des angles COA, COB, deux droites OA^, OB^ respectivement 

 moyennes proportionnelles entre OC, OA et OC, OB; l'ellipse {0A_^, OBj) 

 a pour foyer C. 



Il suffit de remplacer OX par OC. 



7. — Soit une série de segments OA, OB, OC,.... OL. -S'urOA, OB 

 comme demi-diamètres conjugués, on construit une ellipse c{ui a pour 

 foyer F. Sur OF, OC on construit de même une ellipse quia pour foyer 

 G, et ainsi de suite. Le dernier foyer K obtenu, lorsqu'on a ainsi 

 épuisé tous les segments OA, OB,.... OL, est indépendant de l'ordre 

 dans lequel on a pris ces segments pour effectuer les constructions. 



En efïet, f2 = a^ + b^ , g^ = f^ + c^ = a^ + b^ + c^ , • • ■ • 



k2=a2 + b2 + c2+...+ l2 



8. — Portons sur le grand axe d'une ellipse de centre et de foyer 



OF 



F deux longueurs, OG OG', telles que OG = — OG' = ^= 



v2 



et supposons que OA, OB soient deux demi -diamètres conjugués de 

 cette ellipse. Nous appellerons G, G',lGspseudo foyers. 



Nous avons a^ + b^ = f-2 = 2 g^ , a^ — g^ = g^ - b^ , d'où 

 GA. G'A = — GB. G'B 



Ceci démontre que les bissectrices des deux angles GAG', GBG' 

 sont perpendiculaires entre elles, et nous donne les propriétés 

 suivantes : 



Si l'on joint les extrémités A,B de deux demi-diamètres conjugués d'une 

 ellipse aux pseudo-foyers G, G', on forme un quadrilatère dont l'un 

 des angles G, G' est rentrant. Le produit des longueurs AG, AG' est 

 égal au produit des longueurs BG, BG' ; les bissectrices des angles A et 

 B sont perpendiculaires entre elles ; les aiigles G et G', l'un extérieur, 

 Vautre intérieur, sont supplémentaires; enfin, si l'on prolonge l'une 

 des droites, AG par exemple, d'une longueur égale à elle-même en 

 GAi , les deux triangles G'AB, GBAi sont directement semblables. 



9. — Connaissant les extrémités de deux demi-diamètres conjugués 

 d'une ellipse, et un foyer, trouver le centre. 



On a CF2 = CA^ + CB'- , ou f^ _ 2 gf = a^ + b'^ + c^ — 2 c (a + b). 



