QUELQUES PROPRIÉTÉS FOCALES DES CONIQUES 185 



Prenant le foyer F pour origine : 



FC2 — 2 FC (FA + FB) + FA^ + FB^ = 0. 



FG = FA + FB ± s^2FA. FB. 



Si nous formons le parallélogramme FADB, et si nous cons- 

 truisons la moyenne proportionnelle FM de FA, FB, dirigée suivant 

 la bissectrice de l'angle AFB, nous aurons donc : 



FG = FD ± FM v'2, 

 construction très facile, qui donne pour le point G deux solutions, 

 symétriques par rappart au ]3oint D. 



Incidemment, nous avons encore la propriété que voici : soioit 

 GA, GB deux demi-diamètres conjugués d'une ellipse, F mh foyer, P le 

 mUieu de GF, Q le milieu de AB. La droite PQ est parallèle à la bissec- 

 trice de l'angle AFB, et la longueur PQ y/2^ est moyenne proportion- 

 nelle entre les deux rayons recteurs FA, FB. 



10. — Connaissant les extrémités de deux demi-diamètres conjugués 



d'une ellipse, et un pseudo-foyer, trouver le centre. 



On a (8) : 2GG2 = GA^ + GB^ , 2g2 — 4cg =•. a^ + b2 — 2c (a 4- b). 



Prenant G pour origine, il vient : 



_ GA^ + GB^ 



^^ — 2(GA + GB) 



Gonstruisons le foyer H d'uue ellipse ayant pour demi-diamètres 



GA GB . ^ 1 .,. 1 1 T-» 1 



conjugues -^ , -^-, et soit Q le milieu de AB ; alors 



^^ = GQ 

 et on aura G en formant le triangle GHG directement semblable 

 à GQH. 



11 est intéressant de remarquer que ce problème conduit à une 

 équipollence du premier degré, et donne, par conséquent, une seule 

 position pour le centre de la courbe, tandis C£ue celui du n" précé- 

 dent nous conduisait à deux solutions. On se rendra compte de ce 

 fait en se posant la question plus générale que voici : 



G et F étant le centre et le foyer d'une ellipse qui a GA, GB pour 

 demi-diamètres conjugués, on divise par un point K le segment GG, 



GK 



de telle sorte que le rapport y^^ = k soit connu. Etant donnés les 



Gr 



points A, B, K, trouver le centre G. 

 On trouve aisément, en prenant K pour origine, l'équipollence 



(^2 — jA KG2 — 2KC (KA + KBj + KA'^ + KB2 = 0. 



