186 C. A. LAISANT 



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Pour k = 1, le point K coïncide avec F ; pour k = ~^, l'une des 



deux positions du centre s'éloigne à l'infini, et l'équipollence se 

 réduit au premier degré. 



11. — Deux ellipses étant homo focales, on donne les extrémités de 

 deux diamètres conjugués A, B, dans la première, et A , B dans la 

 seconde. Trouver le centre commun. 



On a 

 CA2 + CB2 = CA2 + CBJ,. a2 -f b2 — 2 c (a+b) = a;2 + b^ — 2c (a^ + b^) 



Si nous construisons le triangle rectangle isoscèle A S B^, nous 

 aurons SA^ = + ^ S B^, et, en prenant S pour origine : 



^P^ SA2 + SB^ 



2 (SA + SB — SAj — SB^)' 



ou, en appelant Q le milieu de AB, Q^ le milieu de A^ B^, et R le 



SA SB 

 foyer de l'ellipse ayant -^-, —^ pour demi-diamètres conjugués : 



De là, une construction des plus simples. 



12. — Deux ellipses ayant un foyer commun F se coupent en deux 

 points A eï B qui sont simultanément les extrémités de deux demi- 

 diamètres conjugués dans chacune d'elles. Connaissant le foyer 

 commun F et les centres C, C^ des deux courbes, trouver les 'points 

 communs A, B. 



On a CA2 + CB2 = CF^ , C^A^ + G^B^ = C^F^ . 



Retranchant, et divisant par CCi , il vient : 



CA + G^ A + CB +Gj B = CF + G^ F, 



ou, en appelant D le milieu de GCi , et M le milieu de AB, 



2 DM = DF, DM = ^ 



2 



Le point M étant déterminé, on trouve sans peine en prenant ce 

 point pour origine : 



CF2 

 MA2 = -^=MG2, 



d'où la construction suivante : mener par M une parallèle à CF 



GF 



égale à /^ = ME. Les foyers de l'hyperbole (ME, MG) sont les points 



cherchés A, B. 



