QUELQUES PROPRIÉTÉS FOCALES OU CONIQUES 187 



13. — Deîix ellipses concentriques ne peuvent se couper en deux 

 points A, B qui soient dans chacune d'elles les extrémités de deux 

 demi- diamètres conjugués . 



On aurait en effet GA^ + CB^ =i CF^ = CF^^. Donc les deux 

 ellipses coïncident, puisque GF = + CF . 



14. -;- Deux ellipses ayant un pseudo-foyer commun G ne peuvent se 

 couper en deux points A, B qui soient dans chacune d'elles les extrémités 

 de deux demi-diamètres conjugués. 



Si G et Cl sont les centres, on aurait 



GA2 + GB2 = 2GG-2 , G.A^ + G.B^ = 2G,G2 , 



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ou, en prenant une origine arbitraire, 



a2 + b2 — 2c (a + b) =r 2g^ — 4gc, 

 a2 + b2 — 2Cj (a + b) = 2g2 — 4gCj. 



Retranchant et divisant par c — c , il reste 



A + B = 2g, 

 et, par conséquent, 



a2 + b2 = 2g2 . 

 Ges deux équipollences ne sont compatibles qu'autant que 

 A := b = G, c'est à dire lorsque les ellipses se réduisent à deux 

 droites. 



15. — Deux ellipses, de centres G et Gj ont un foyer commun F et 

 un point commun A. Les demi-diamètres conjugués de CA et G A sont 

 respectivement, dans les deux courbes, GB et G B . Connaissant 

 les points G, G^, B, B^, trouver F et A. 



On a GA2 + GB^ = GF^ , GjA^ + G^BJ = G^FS . 



Retranchons ces deux équipollences, et divisons par 2GG ; en 

 désignant par P, Q, R, S les points milieux de GG^, BBj,Bj G, BG^, 

 respectivement, nous aurons 



Ayant AF, la première equipoUence donne : 

 GA + GF=^, 



si bien que les points A et F s'obtiennent par des constructions 

 très faciles. 



16. — Deux ellipses concentriques ont un point commun A ; le demi' 

 diamètre conjugué de GA est CB dans la première et GB^ dans la 

 seconde ; F est un foyer de la première, F^ un foyer de la seconde. 



