i88 C. A. LAISANT 



Connaissant les points B, B^, F, F^, trouver le centre commun G et le 

 point commun A. 



On a CA2 -|- CB-2 = CF^ , CA^ h GBJ = CF^ 



Soient P le milieu de FF^, Q le milieu de BB , et construisons 

 FH équipollente à BB^. Nous avons, par soustraction : 

 CQ. BB^ = CP. FF^, 

 CP _ BBj _ FH 



CQ ~ Ff' — Ff' 



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si bien qu'il suffira de construire le triangle QPC, directement 

 semblable à FjHF. Une fois C obtenu, on voit que A est foyer de 

 l'hyperbole (GF, GBj. 



On remarquera que les deux ellipses ayant pour demi-diamètres 

 conjugués GB, GF^, et GB^ GF sont homofocales. 



17. — Soient 0, A, B, G, D, cinq points sur un plan. Considérons 

 les six ellipses 



(OA, OB) (OA, OG) (OA, OD) (OB, OG) (OB, OD) (OG, OD) 

 qui ont respectivement pour foyers : 



F, G, H, K, L, M. 



Ceci posé, les trois ellipses (OF, OM) (OG, OL) (OH, OK) sont 

 homofocales. 



On a en effet : OF^ = OA^ + OB^ , 0M2 = OG^ + OD^ ; et OS-2 = 

 0A2 + 0B2 + OG'2 + 0D2 nous donne le foyer de l'ellipse (OF, OM) ; 

 de même pour les deux autres. 



18. — On donne sur un plan un point fixe 0, une droite fixe (D) et 

 sur cette droite un point A, à paî'tir duquel on porte sur la droite, 

 de part et d'autre, deux longueurs variables égales AM, AM'. On 

 demande le lieu des foyers des ellipses qui ont pour demi-diamètres 

 conjugués OM, OM'. 



Soit AM = — AM' = tB, et OA = a. Alors OM = a + tB, 

 OM' = A — tB, et 



0F2 = (a + tBy^ + (a — fB)2 = 2 ( a2 - r^ b2 ) = z, 



OF = vz^. 

 Gomme l'extrémité de z décrit visiblement une droite, F décrit, 

 comme on le sait, une hyperbole équilatère, dont il serait d'ailleurs 

 très facile de trouver l'équation. 



Les données étant les mêmes, si l'on demandait le lieu des foyers 

 de l'hyperbole (OM, OM') on aurait 



0F2 = 4fAB, 



si bien que le lieu se composerait de deux droites rectangulaires. 



