QUELQUES PROPRIÉTÉS FOCALES OU CONIQUES 189 



En faisant varier simplement t de à + oo, oucleOà — oo, on 

 obtiendrait séparément chacune de ces deux droites. 



19. — Sur deux demi-diamètres conjugués variables d'une ellipse, 

 on construit une hyperbole admettant également ces deux droites comme 

 demi-diamètres conjugués. On demande le lieu des foyers de cette 

 hyperbole variable. 



Si G est le foyer variable cherché, on a g^ == a^ — b^ , en appelant 

 OA et OB les deux deaii-diamètres conjugués. Mais en rapportant 

 l'ellipse à ses deux axes, on trouve sans peine 



a2 — b2 = (a2 — b2 ) cos 2 f + 2 z ab sin 2 t 

 Donc G = v' c'^ cos 2 f + 2 z ab sin 2 t 



est l'équipoUence du lieu cherché. 

 En coordonnées cartésiennes, on peut écrire 



x2 — y2 — Qi cos 2 ^ , xy = ab sin 2 1, 

 /x2 — y2 \2 x2 y2 ^ 



°^ ("^^) ^-W=^ 



En coordonnées polaires, on a 



4 a2 b2 c4 



?' = 



4 a^ b^ cos^ 2w + c* sin^ 2to 



Gomme l'expression sous le radical écrite ci-dessus représente 

 un point de l'ellipse ayant pour demi-axes c^ et 2 ab, nous voyons 

 que le lieu cherché correspond à cet autre problème : 



On joint le centime d'une ellipse à un point M de la courbe; OK 

 étant une droite fixe, on mène la bissectrice de V angle KOM et on porte 

 sur cette droite une longueur OG moyenne proportionnelle entre OK et 

 OM. On demande le lieu du point G. 



Nous laissons au lecteur le soin de construire la courbe, qui est 

 d'une symétrie remarquable par rapport aux axes et à leurs bissec- 

 trices, et d'étendre le problème à une hyperbole fixe, et une ellipse 

 variable, ce qui n'offre pas plus de difficultés. 



20. — Nous terminerons cette note par la démonstration d'une 

 propriété qui a fait l'objet d'une communication antérieure à la 

 Société Philomathique, mais dont l'énoncé seul a été publié jusqu'à 

 présent. Elle concerne les coniques à centre, mais pour abréger et 

 simplifier, nous nous bornerons ici à l'établir pour l'ellipse. 



D'un point P, extérieur à la courbe, nous menons deux tangentes 

 PE, PE'. Soit PO le diamètre passant par P, lequel coupe la courbe 

 en A, entre P et 0; soient enfin D le milieu de la corde EE' (situé 

 sur PO), F et F' les foyers, et OB le demi-diamètre conjugué de OA. 



L'équipoUence de l'ellipse peut s'écrire OM = OA cos t-\- OB sin t. 



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