190 C. A. LAISANT 



En désignant par t une valeur convenable du paramètre, nous 



avons donc 



OE =OAcost + OBsln t, 



OE' = OA cosf — OB sin f, 



OD =OAeosr, 



etOP=^,, 



cos t 



comme il est très facile de le vérifier ; c'est d'ailleurs une propriété 

 bien connue. 

 De là 



PE = — OA. ^-'4 + OB sin t, 

 cos t 



PE' = _ OA -^^ -OB sin t. 



cos t 



Mais OF = + v'0ÂM^ÔB2", OF' = — v/OA^ + OB \ 



Donc 



PF = — -^ + VOA-^ + 0B2 , 

 cos t 



PF'==_ _2^ — s/0A3 + 0B2 . 



cos t 



Des équipollences précédentes, on tire 



PE. PE' = 0A2 ^^4t — 0B2 sin2 t., 

 cos^ t 



PF. PF' = 0A2 ?i5il _ 0B2 . 

 cos2 t 



D'ailleurs 



PE + PE'=2PD= — 2 0A ^i^-^ 



PF + PF' = 2 PO = — 2 OA 



cos t 



i 



Dont 



Ou 



cos t 



PE + PE' PE. PE' 



== sin'2 1. 



PF i" PF' PF. PF' 



1 1 1 



+ = 



PE PE' PF PF' 



Cette relation nous montre que par rapport au point P, le centre 

 harmonique K des points E, E' est le même que celui des points 

 F, F'. 



Autrement dit, si l'on transforme par inversion par rapport au 

 point P la figure EE'FF', les points transformés E^, E'^, F^, F'^ 



