QUELQUES PROPRIÉTÉS FOCALES OU CONIQUES 191 



seront les sommets d'Qn parallélogramme dont E^E'^, F^F'^ seront 

 les diagonales. 



En utilisant les propriétés les pins élémentaires de l'inversion, 

 on voit aussi : 



1° Que les circonférences PEF, PE'F' sont tangentes entre elles 

 en P; 



2° Qu'il en est de môme pour les circonférences PEF', PE'F; 



3° Que le centre harmonique K n'est autre que le second point 

 d'intersection des circonférences PEE', PFF'; 



4° Que si les deux circonférences PEF, PEF', par exemple (ou 

 PFE, PFE') sont orthogonales, les quatre points E, E', F, F' sont 

 situés sur une même circonférence. 



Le centre harmonique K est lié au point P par une relation facile 

 à trouver, et qui nous fournira une nouvelle détermination géo- 

 métrique. 



En effet 



2 _ PF + PF' 

 PK ~ PF.PF' ' 

 1 — OP 



OK — OP ~ 0P2 — 0F2 ' 



OK.OP = 0F2 , 



OF^ 

 OK = -— - 



On obtient donc le point K en formant le triangle OFK direc- 

 tement semblable à OPF. 



Lorsque P. décrit une courbe quelconque, K décrit nécessairement 

 une ligne inverse. Par exemple, le lieu de P étant une circonfé- 

 rence (ou une droite), celui de K sera une circonférence. 



Ce point K subsiste encore, lorsque le point P est intérieur à 

 l'ellipse, puisqu'en définitive il ne dépend pas des points de contact 

 des tangentes, mais uniquement des foyers, et qu'il reste le même 

 pour une position fixe de P et pour toutes les ellipses homofocales. 



On démontrerait tout aussi facilement la relation non moins inté- 

 ressante 



^^- "DP ' 



qui détermine le point K au moyen des points de contact E,E'; elle 

 se prête à des remarques analogues à celles qui précèdent. 



