122 G.-A. LAISANT. — PROPRIÉTÉ ÉLÉMENTAIRE DU TRIANGLE 



Ceci peut servir à certaines constructions de triangles, ou à la 

 résolution de certains problèmes. Par exemple, si l'on veut cons- 

 truire un triangle connaissant la hauteur, la bissectrice et la 

 médiane issues d'un sommet A, la figure AHA'M se construira 

 immédiatement ; on aura donc le rapport k: et la circonférence, 



PA 



lieu des points P tels que ^rr = k, viendra couper la droite 



HA' M en B et C ; il est du reste évident que cette dernière circon- 

 férence a pour centre le point D, et qu'elle passe par le centre I du 

 cercle inscrit. 



Si l'on donne seulement les trois points M, A', H en ligne droite, , 

 et qu'on demande le rapport ~ ]5p — , c'est-à-dire k, on l'obtient 



Immédiatement, puisque c'est y , . Au fond, c'est, sous une 



apparence différente, cette propriété de l'ellipse rapportée à ses 

 axes : si l'on prend l'abscisse x d'un point de la courbe, l'abscisse Xi 

 du pied de la normale correspondante terminée au grand axe, le 



rapport — est le carré de l'excentricité de la courbe. 



On remarquera que le rapport y\j~ ^st aussi égal à k. Donc, 



HE 



k =■ „ . , , E étant le point de contact du cercle inscrit avec BC. 



iIjA 



MH HË' ., . ., ^ . , ,,^ . , 



On a donc -irrrr = ,c . H est facile de voir qu on déduit de 



MA EA ' 



là MË^ = MA'.MH. La puissance du point M est donc la même 



par rapport au cercle inscrit et à un cercle quelconque passant 



par H et A'. Autrement dit, l'axe radical de ces deux cercles passe 



toujours par M . 



Sorti des presses en mars 1903. 



