280 J. DESCHAMPS. — CAUSTIQUES ET ANTICAUSTIQUES 



gente S un élément infiniment petit \l. Or, en vertu de leurs dimen- 

 sions infiniment petites, les éléments m^ et [j. sont plans, et le fais- 

 ceau normal à l'élément m, est formé de rayons parallèles. Donc, 

 en vertu du cas précédent, l'élément m^ est l'enveloppe de sphères 

 ayant pour centre les divers points de l'élément p. et pour rayons 

 les longueurs pj des rayons incidents comprises entre les deux 

 surfaces S et 2 ; de même aussi les rayons réfractés sont normaux 

 à un élément plan infiniment petit m,, qui est l'enveloppe des 

 sphères décrites des divers points de l'élément [x comme centres 

 avec des rayons p., liés aux rayons correspondants p.2 par la relation 



p.-) = - — pi 



En répétant la même construction pour tous les éléments de la 

 surface S, on obtiendra une infinité d'éléments ?% ^^^^ l'ensemble 

 constituera une surface So normale aux rayons réfractés, 



— L'énoncé de Gergonne entraîne immédiatement les deux 

 suivants: 



1° Des rayons primitivement normaux à une surface sont encore 

 normaux à une surface après un nombre quelconque de réfractions ; 



2° Des rayons émanés d'un point unique ou parallèles entre eux sont 

 normaux à une surface après un nombre quelconque de réiractions. 



Les rayons de ces deux dernières catégories sont en effet 

 normaux, les premiers à une sphère, les seconds à un plan. Ils 

 restent donc normaux à une surface après une première réfraction 

 et par suite après autant de réfractions qu'on veut. 



En raison de cette double circonstance qui est la circonstance 

 pratique, le théorème de Gergonne domine, comme nous l'avons 

 dit, tous les phénomènes de réfraction. Les applications ultérieures 

 que nous nous proposons d'en faire dépendent de la relation qui a 

 été établie par la démonstration précédente entre ce que nous 

 avons appelé la longueur du rayon incident et la longueur du rayon 

 réjracté correspondant. Nous avons appelé longueur du rayon inci- 

 dent la portion de ce rayon comprise entre la surface Sj à laquelle il 

 est normal et la surface réfringente S ; nous avons de même appelé 

 longueur du rayon réfracté la portion de celui-ci comprise entre la 

 surface réfringente S et la surface S^ à laquelle il doit être normal. 



En désignant par p^ la première longueur et par pj la seconde, 

 ou de 



(1) —^ = -± 



