284 J. DESCHAMPS. — CAUSTIQUES ET ANTICAUSTIQUES 



Au point de vue purement géométrique, ce tliéorème ne fait 

 qu'énoncer une propriété du système^des normales à une surface. 

 Tout système des normales à une surface rentre dans la catégorie 

 des systèmes de droites désignés sous le nom de congruences^ dont 

 ils possèdent par suite les propriétés générales, en même temps 

 que les propriétés particulières qui caractérisent les congruences 

 de normales. Or on sait que chaque génératrice d'une congruence 

 est rencontrée pas des génératrices infiniment voisines en deux 

 points réels ou imaginaires, désignés sous le nom de foyers. 

 L'ensemble des foyers de toutes les génératrices forment deux 

 surfaces, ou plus généralement deux nappes d'une même surface, 

 auxquelles sont tangentes toutes les génératrices de la congruence. 

 De plus, et par suite de la première propriété, chaque génératrice 

 de la congruence fait partie de deux surfaces développables qui se 

 croisent suivant cette génératrice, les arêtes de rebroussement de 

 ces deux surfaces étant des lignes de la surface focale. Quant au 

 point de contact de la génératrice avec l'arête de rebroussement, il 

 n'est autre que l'un des foyers de cette génératrice ; il est aussi le 

 point de contact du plan tangent mené par la même génératrice 

 à la surface développable correspondante, ce plan étant désigné 

 sous le nom de plan focal. De la sorte, à une génératrice donnée 

 correspondent deux plans focaux. 



Enfin, les génératrices infiniment voisines de celle-ci rencon- 

 trent les deux plans focaux respectivement suivant deux droites, 

 appelées droites focales, qui sont perpendiculaires à la génératrice 

 considérée et passent par ses foyers. 



Dans le cas particulier où les génératrices de la congruence sont 

 les normales à une même surface S : 



1" Les foyers sont toujours réels et se confondent avec les centres 

 de courbure des sections principales menées dans la surface S par 

 la normale considérée ; 



2» Les plans focaux sont rectangulaires et se confondent avec les 

 plans des sections principales ; 



3° Les deux surfaces développables dont chaque génératrice fait 

 partie, et qui ont ici reçu le nom de normalies développables, se 

 croisent à angle droit sur cette génératrice. Il en est de même par 

 suite des plans focaux qui sont les plans tangents à ces surfaces. 

 Quant aux intersections avec la surface S de ces normalies déve- 

 loppables, elles sont les lig^ies de courbure de cette surface ; 



4° Enfin, les droites focales sont, elles aussi, perpendiculaires 



