290 J. DESCHAMPS. — CAUSTIQUES ET ANTICAUSTIQUES 



APs Pj sont, dans le cas de n^ < ni, égaux entre eux. Comme d'ail- 

 leurs la droite AP2 est normale à la courbe cherchée, on voit que 

 celle ci est telle que la normale en chacun de ses points est bissec- 

 trice de l'angle que font entre elles les droites joignant ce point aux 

 deux points fixes Pi et P'^. Cette courbe est donc une ellipse ayant 

 pour foyers les points Pi et P,. 



Il est facile d'ailleurs de véritier que la somme Pi P2 + P[ P2 de 

 ces deux rayons vecteurs est constante. En effet, les deux angles 

 égaux en P2 sont égaux à l'angle APi P]'= ii, et par conséquent les 

 deux triangles Pi P2 P^, Pi P2 P.^ donnent 



Pi P2 Pi P2 



sinzs sln^l 



PI P2 Pi P2 



SIn^2 sln^^ 



d'où en ajoutant membre à membre 



Pd P2 + Pi P2 Pi P2 + Pi P2 



sin «2 sin il 



sinz2 



Pi P2 + Pi P2= Pi P( 



sin^i 



(9) Pi Pt + PI p. = -^ Pi Pi'. 



ni 



La somme des deux rayons vecteurs est donc constante, et par 

 suite la courbe anticaustique est bien une ellipse. L'égalité (9), que 

 nous venons d'obtenir, montre que l'excentricité de cette ellipse 



est égale au rapport — — des indices de réfractions dans le second 



m 

 et le premier milieux. 



On obtient le même résultat beaucoup plus rapidement parla 

 considération du quadrilatère inscriptible APi P2 PJ ; qui donne 



Pi P2. Ap; + p; P2. APi = Pi Pj. APi> 



Or on a d'une part : 



AP, = AP; = fi 



on a d'autre part 



D'ailleurs 



AD —"1 

 AP2 = Pi . 



PiPi=2j0i. 

 L'égalité précédente devient donc, après simplification 



Pi P2 + P, P2 = 2 —pi. 



' 112 



On retrouve ainsi l'égalité (9). 



