J. DESCHAMPS. — CAUSTIQUES ET ANTICAUSTIQUES 291 



— Les résultats que nous venons d'obtenir ont l'avantage de 

 mettre en évidence quelques propriétés de l'ellipse, qui sont, 

 démontrées en même temps qu'exprimées par les formules précé- 

 dentes. Ces propriétés sont les suivantes : 



Quand on mène à une ellipse la normale en un quelconque P^ de ses 

 points et qu'on la prolonge jusqu'à sa rencontre avec chacun des deux 

 axes en P'2 et en A, puis qu'on joint ce dernier point à l'un des foyers Pi; 



1° Le rapport de la distance Pi A à /a longueur totale P2 A de la 

 normale est constant et égal à l'excentricité ; 



2o Le rapport de la portion de la normale V'i A comprise entre les 

 deux axes à la distance Pi A est aussi constant et égal à l'excentricité; 



30 La longueur A Pi est moyenne proportionnelle entre les deux 

 longueurs A P2 é?f A P'2 ; 



4° Le rapport de la longueur A P'^ à la longueur A P2 de la nor- 

 male est constant et égal au carré de l'excentricité. 



Les deux premières propriétés sont la traduction des formules. 



(b) 02 = ?i 



n-2 



et 



n\ r' — ^- 



[i) p2 = pi 



Wl 



Les deux autres s'obtiennent en multipliant ou en divisant ces 

 formules membre à membre. 



Il nous reste à faire remarquer que, si, pour une même incidence, 

 on fait varier l'indice de réfraction, les extrémités des rayons 

 réfractés correspondants se déplacent sur le même cercle, comme 

 nous l'avons déjà montré dans l'étude générale du théorème de 

 Gergoune. Mais en même temps ces extrémités se trouvent sur des 

 ellipses homofocales en des points qui se correspondent de telle 

 façon que les normales en ces points rencontrent le petit axe de 

 ces ellipses en un même point A. On obtient ainsi une interpréta- 

 tion physique curieuse du système des ellipses homofocales. 



Nous avons, dans tout ce qui vient d'être dit, supposé Hl- <mi. Si 



l'on supposait au contraire in > wi, on trouverait, en procédant de 



la même manière, que le lieu du point P2 est une hyperbole ayant 



. . , . - , «2 



pour foyers les points Pi et Pi', et dont l'excentricité est égale a- — 



On obtiendrait pour cette hyperbole des propriétés analogues à 

 celles que nous avons trouvées pour l'ellipse, la variation de réfran- 

 gibilité conduisant de même à un système d'hyperboles homofo- 

 cales. 



