J. DESCHAMPS. — CAUSTIQUES ET ANTICAUSTIQUES 293 



Or le point A étant sur l'axe OX, ou a ijo — o, et par suite 



(12) h tm — mi k =■ 



ou (12 — = . 



Il «îi 



On a ainsi une première relation entre les deux inconnues. Pour 

 en trouver une seconde, nous rappellerons qu'on a 



p'2 n-2 



pi ni ' 



d'où 



(13) ni ?i — ni ^\= 



Or, comme OA = Xo, on a 



2 i2 2 



pl = M + *Ô 



'2 (2 I 2 



?2 — Ml" Xg ; 

 ou, à cause de yo = o 



?l = (k-yor- + x; 



?i = [k — yo]- + 3'-;. 



En remplaçant Xo et yo par leurs valeurs trouvées plus haut, 

 on trouve 



(/-' - hf (1 + ml) 





(m2 — mi)2 



{k - h)^ (i -\- ml) 



ïïii — mi)2 

 La relation (13) devient alors 



(14) wf (1 + ml) -nl(i + mV - o. 



On a ainsi les deux relations (13) et (14) pour calculer les deux 

 inconnues k et m^, . 



Cela étant, il suffit d'éliminer entre ces deux équations la variable 

 mi pour obtenir l'équation tangentielle de l'enveloppe du rayon 

 réfracté, c'est-à-dire de la caustique de réfraction. Tous calculs 

 faits, on trouve 



/iM\ 2 )2 2 2 i2 2 I / 2 2\ r2 



(15) ni «2 m^ — n.2 /i m^ + (ni — n^) k = o. 



Suivant que l'on a m < ni ou wa > ni, on reconnaît que cette 

 équation représente une développée d'ellipse ou une développée 

 d'hyperbole. 



— En résolvant, comme nous l'avons dit, les équations (13) et (14) 

 on obtient les valeurs k et m2 qui correspondent au coefficient 



