296 J. DESCHAMPS. — CAUSTIQUES ET ANTICAUSTIQUES 



Cherchons, d'après la méthode ordinaire, l'équation de l'enve- 

 loppe de la droite représentée par cette équation, Difïérentions 

 pour cela l'équation (19), il vient 



{ [x sin k + y cos h ) cos /i — pi sin n sin h \ dk 

 + I (x cos h — y sin 12 ) sin i^ + joi cos k cos ^2 | d,ii = 



En tenant compte de l'équation (18), cette dernière se réduit à 



(20) {{x sin P2 + y cos k ) cos ii — pi sini sin (2 j cos h dû + cos kdH = 

 On a d'ailleurs trouvé plus haut la relation 



(17) m cos 12 di\ — 112 cos ^2 di2 = 



Eliminons maintenant les différentielles di[ et dii entre les 

 équations (20) et (17), nous trouvons : 



(21) i {x sin (2 + y cos 12 ) cos k — p sin k sin k \ ni cos- k 



+ n2 pi cos^ k — 



L'équation explicite de l'enveloppe s'obtient alors en éliminant 



les variables k et k entre les équations (20), 21 et la relation de 



Descartes 



n sin ii — «2 sin is = 0. 



Or, au lieu de faire cette élimination, on peut considérer l'enve- 

 loppe cherchée comme représentée par l'ensemble des équations 

 (19), (21) et (22) entre les 4 variables x, y, ù et k, dont une seule 

 est arbitraire. 



Pour interpréter plus facilement ces équations, nous remarque- 

 rons d'abord que les équations (19) et (21) peuvent s'écrire 



. . pi sin k 



X cos l2 — V sin l2 ■= : COS ^2 



cos li 



, . . Pi sin k . n2 pi cos- ^2 



X sin i2 -t y sin 12 = : — sin 12 — r — 5-^, 



cos II ni cos II cos- n 



ou 



X cos k — y sin k = Xo cos k 



, . 112 COS- k 



X sin k + y COS 12 = Xo sin «2 pi ;^— 



" fil cos- Il 



ou enfin 



(23) [ X cos Z2 — y sin is = Xo cos ^2 



' cos^ k 



(24) ) a; sin k + y cos i2 =Xo sin 12 — p'2 



i 



cos- ei 

 Ces deux dernières équations fournissent les deux coordonnées 



