J. DESCHAMPS. CAUSTIQUES ET ANTICAUSTIQUES 301 



l'angle d'incidence ii. Désignons par P'^ le point où cette circonfé- 

 rence rencontre le diamètre du point Pt. Le quadrilatère A Pj pI p[ 

 étaût inscriptible, on a : 



ang. AP( Pi = ang. AP2 Pi = iu 

 ang. AP2 Pi =-- ang APi Pi = 0, + i, 

 Il en résulte 



(31) ang. Pi AFd = TT — co — 2ji. 



Or, si nous menons la corde AC, nous remarquons qu'on a 

 ang Pi AG = ang. OAC — ang. OAPi 

 c'est-à-dire 



(32) angPi AC=-^-^-/i. 



L'angle Pi AG est donc la moitié de l'angle Pi APi et par suite 

 la corde AG est bissectrice intérieure de l'angle Pi API. 



Soit maintenant G' la seconde extrémité du diamètre du point 

 Pi ; la corde AGI perpendiculaire à AGi est bissectrice extérieure 

 du même angle Pi APî. 



Il suit de là que les deux points G et C sont conjugués harmo- 

 niques par rapport aux deux points Pi et Pi, et que, par suite, 

 réciproquement, les deux points Pi et Pî sont conjugués harmo- 

 niques par rapport aux points G et G'. Or, les points G, G' et Pi sont 

 fixes; par conséquent, le point Pî est fixe lui aussi et indépen- 

 dant du point d'incidence A. 



On est ainsi conduit au théorème fondamental suivant : 



Théorème. — Quand des rayons lumineux émanés d'un même 

 point tombent sur une surface réfringente de forme sphérique, les circon- 

 férences sur lesquelles se trouvent d'après le théorème déduit {page 283) 

 du théorème de Gergonne, les extrémités des rayons réfractés, passent 

 par deux points fixes, qui sont l'un, le point lumineux Pi , l'autre le 

 conjugué harmonique P'i du premier par rapport aux deux extrémités 

 G et G' du diamètre passant par le point Pi. 



On peut obtenir ce même résultat d'une manière plus rapide, en 

 s'appuyant sur cette proposition connue : Lorsque deux circonfé- 

 rences sont orthogonales, toute sécante commune, passant par le 

 centre de l'une d'elles les coupe en quatre points formant une division 

 harmonique. 



Ge théorème établit une analogie remarquable entre la réfraction 

 sur une surface sphérique et la réfraction sur une surface plane. Il 

 en résulte que les points fixes Pi et P"! se trouvent intimement liés 

 aux divers points de la courbe anticauslique, vis-à-vis desquels ils 



