J. DESCHAMPS. — CAUSTIQUES ET ANT1CA.USTIQUES 303 



Or de la relation (27) établie plus haut on déduit 

 sin (oi -\- il ) r 

 sin ii U 



La relation précédente peut donc s'écrire 

 ,^o, PgPi P2 Pi r 



Cette formule exprime une propriété de la courbe qui peut 

 s'énoncer ainsi : 



3me PROPRIÉTÉ. — Le rapport anharmonique des distances d'un 

 point P2 de la courbe et du point Vi pris sur la normale correspon- 

 dante aux deux points fixes P et Pi est constant. 



Nous pouvons obtenir d'autres propriétés de la courbe, en remar- 

 quant que le quadrilatère A Pi Vt Pi est inscriptible, et que par 

 conséquent les théorèmes connus s'appliquent. Indépendamment 

 des relations fournies par ces théorèmes et dans lesquelles ne figu- 

 rent que les éléments rectilignes de ce quadrilatère, on peut en 

 obtenir d'autres déduites, il est vrai, du même quadrilatère, mais 

 où figurent les angles et parmi eux les angles variables ii et is d'inci- 

 dence et de réfraction. 



Ainsi remarquons que l'on a 



ang. P2 Pi Pi = ang. P2 A Pi = ii — «i 

 et aussi 



ang. P2 Pi C = w + il + k. 

 Le triangle Pi P2 Pi donne alors 



{'Ml\ P^ P^ _ sin {i% — ii] 



^ ' Pî P2 sin (w + ii + i2) 



Cette relation qui fournit l'expression du rapport des rayons 

 vecteurs du P2 en fonction de l'angle variable ii d'incidence constitue 

 une 4^ propriété de la courbe anticaustique. 



Considérons encore le triangle A Pi P2 ; il donne : 



d'où 



ou 



(35) 



sin li 



