J. DESCHAMPS. — CAUSTIQUES ET ANTICAUSTIQOES 305 



nous venons d'établir ainsi les propriétés, comprend l'ellipse 

 comme cas particulier. Supposons en effet que les points C et Pi 

 restant fixes, le centre de la surface réfringente s'éloigne indéfi- 

 niment, la portion de cette surface voisine du point G a pour limite 

 le plan tangent en G qui est fixe par hypothèse. La partie corres- 

 pondante de la courbe anticaustique relative à la sphère a donc 

 pour limite la courbe anticaustique relative à un plan, c'est-à-dire 

 une ellipse. Les propriétés de l'ellipse doivent donc dériver, com- 

 me cas limites, des propriétés qui viennent d'être trouvées. C'est 

 ce qu'il est facile de vérifier, en marquant que l'angle oj a pour 

 limite zéro, lorsque le centre s'éloigne au-delà de toute limite. 

 Donc, en faisant w = o dans les formules ou énoncés ci-dessus, on 

 voit : 



1° Que la normale menée par le point P^ à la courbe anticausti- 

 que fait des angles égaux l'un et l'autre à l'angle i\ d'incidence et 

 que par suite cette normale est bissectrice de l'angle intérieur des 

 deux rayons vecteurs du point P^ ; 



2» Que le rapport de la longueur Pj A à la longueur P2 A de la 

 normale est constant ; 



3° Que le rapport anharmonique des distances aux deux foyers 

 du point P2 et du point P^ pris sur la normale correspondante, est 

 constant et égal à l'unité ; 



4° Que le rapport des deux rayons vecteurs du point P2 a pour 

 valeur 



Pi P2 sin {h — il) _ 



Pi P^ ~ "sTnTîîTTTô"' 



50 Que la somme de ces rayons vecteurs a pour expression 

 ^ ^ ^, ^ sin [h — i\) + sin [h -\-i\) ^ sin h cos i\ 



Pi P2 + Pi P2 = jOl ^^ : -. : = 2 pi -^—7 J 



' sin li cos li siu li cos i\ 



ou PlP2+PÎP2=2 p,. 



nj. 



Nous retrouvons ainsi les propriétés connues ou démontrées de 

 l'ellipse. 



Pour compléter l'analogie, nous observerons que, si le point Pi> de 

 l'anticaustique peut être obtenu sur la circonférence directrice 

 d'après la longueur AP2 de la normale calculée à l'aide duthéorème 

 de Gergonne, ce qui détermine la direction du rayon réfracté, on 

 peut, inversement, obtenir le point P2 en prolongement jusqu'à la 

 même circonférence le rayon réfracté dont la direction est supposée 

 connue. Il faut alors démontrer que ce rayon APi est la normale 

 à la courbe anticauslique au point Vi 



