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J. DESCHAMPS. — CAUSTIQUES ET ANTICAUSTIQUES 



La méthode de démonstration est, au fond, analogue à celle qu'on 

 emploie pour démontrer la même propriété dans le cas de l'ellipse, 

 en regardant celle-ci comme caractérisée par la constance de la 

 somme des rayons vecteurs. 



Nous allons donner cette démonstration, en appliquant les pro- 

 cédés de la géométrie infinitésimale. 

 Désignons, pour plus de commodité dans les notations, par M le 



point de la courbe anti- 

 caustique correspondant 

 au rayon incident Pi Ai 

 (fig. 17) et par ri et ri les 

 rayons vecteurs Pi M et 

 Pî M. Soit alors Pi A' un 

 rayon incident infiniment 

 voisin de Pi Ai et M' le 

 point correspondant de la 

 courbe anticaustique. Ce 

 point est infiniment voisin 

 du point M, et par suite la 

 direction de la tangente en 

 M à l'anticaustique est re- 

 présentée, aux infiniment 

 petits près d'ordre supé- 

 rieur, par la direction de 

 la droite M M'. 



Or, décrivons du point 

 Pi comme centre avec Pi M' 



Fig. 17. 



pour rayon un arc de cercle jusqu'à sa rencontre en m avec le pro- 

 longement de Pi M; de même, du point Pi comme centre avec Pi M' 

 comme rayon, décrivons un autre arc de cercle jusqu'à sa rencontre 

 en m' avec Pi M. Les longueurs Mm et Mm' représentent les valeurs 

 absolues des différentielles dri et dr'i des rayons vecteurs ri et r'i. 

 lorsqu'on passe du point M au point M', la première différentielle 

 étant positive et la seconde négative. Quant aux arcs infiniment 

 petits M'm, M'm,\ considérés comme rectilignes, ils sont respecti- 

 vement perpendiculaires aux droites Pi M, Pi M, et, par suite, 

 l'angle m M'm' est égal à l'angle Pi M Pï. Donc, en tenant compte 

 de la valeur de ce dernier angle, on a : 



(38) ang. m M' m' = i\ +- (œ -f is). 



De plus, ces mêmes arcs, correspondant à des angles au centre 



