J. DESCHAMPS. — CAUSTIQUES ET ANTICAUSTIQUES 307 



qu'on voit être égaux respectivement à dto -i- dii -f dh et à dh — dii, 

 ont pour valeurs : 



M'm = (ri -f- dr\) [d^ + dU + dit) 

 M'm' = (n + dr\) {dk — du) 

 ou simplement 



M'm = ri (rfo) + di\ + rfia) 

 M'm' = r'i {dk — di\) 

 Cela étant, désignons par a et p les angles M M'm, M M'm', et pro- 

 posons-nous de les évaluer. Les deux triangles MM'm, MM'm', rec- 

 tangles en m et m/, nous donnent à cet effet 

 M'm = MM' cos a 

 M'm' = MM' cos p 

 On déduit de là par division et en remplaçant M'm et M'm' par 

 leurs valeurs précédemment calculées : 



cos a ri doi + dii + dk 

 cos p r'i dk — dii 



Or nous avons trouvé plus haut la relation (34). 

 n sin (k — il) 



r'i sin ((0 + ^2 + il) 

 il vient donc 



cos a sin («2 — ii) rfw + dii + dit 



(39) 



cos p sin (w + ii + it) dit — di\ 

 Nous avons alors à calculer le rapport différentiel 

 d(o + dii + dit 

 dit — dii 

 Pour cela, la relation fondamentale de Descartes nous a déjà 

 donné par différentiation 



(17) m cos it di\ = nt cos it dit 



et comme on a : 



nt sin it = ru sin ii , 



la multiplication de ces deux relations nous donne 

 sin il cos it dit = sin it cos ii dii . 

 On tire de là 



,,_, ,. sin it cos ii ,. 



(40) dît = : : r- dl, 



cos It sm li 

 et par suite 



f,A^ j- j- sin (it — il ) .. 



(41 dit — dii — ^^ — : — r- du . 



cos it sm ^l 



