308 J. DESCHAMPS. — CAUSTIQUES ET ANTICAUSTIQUES 



De même, de la relation (27) établie plus haut 



(27) k sin (w + il ) = /■ sin h , 



on déduit par difïérentiation 



h cos (m -j- ii) (do) + dii ) = r cos ii du , 

 d'où 



rfw + dli = -5—. ; ^-r "*l 1 



/i cos (w -j- ^l ) 

 ou, en tenant compte de la relation (27) 



,,„, , , ,. sin (w + ii ) cos U ,. 



42) rfw + di]. = —. — ^ ^— - du . 



sm II cos (w + ^l ) 



Enfin, en ajoutant les formules (40) et (42), on a : 



cos il sin «2 cos (co +ii ) + cos i2 sin (o) -|- il ) ,. 



dto + dii + dî2 = — : — ■ ^ 7 : ~ai\ 



sin II cos lî cos (w + ^l ) 



ou 



,,„. , , J- , J- cos il sin (o) + il + i2 ) ,. 



43 doi 4- dii + di^ = — — : ^^ ■ r-r dii . 



sin ^^ cos ^2 cos (o) + ïi) 



Dès lors, en tenant compte des formules (41) et (43), la relation (39) 

 devient 



, , , , cos a cos il 



(44) 



cos [i cos (co 4- il) 



Comme on a déjà 



a -f [3 = il 4- (co + i2), 



cette dernière relation entraîne 



i a =-- il 



/ p = (o + il. 



Donc, de même que la droite M'm est perpendiculaire à Pi Mi de 

 même la droite M M' est, elle aussi, perpendiculaire à A M. 



Donc, enfin, la droite A M est normale à la courbe, lieu des 

 points M. 



Équation de la courbe anticaustique 



Désignons (fig. 18) par Xo et yo les coordonnées variables du point 

 d'incidence A par rapport à l'axe C pris pour axe des y et la 

 perpendiculaire à cet axe pour axe X ; on a : 



\ Xo = r sin w 



/ yo =' r cos co 



