J. DESCHAMPS. 



CAUSTIQUES ET ANTICAUSTIQUES 



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Désignons maintenant par x et y les coordonnées de l'extrémité 

 du rayon réfracté A P2 dont nous continuons à désigner la longueur 

 par 02; nous avons : 



(45) 



( ,2" — Xo = — p2 sin (oj + ^2) 



/ y — I/o r= 



Ces équations définis 

 sent les coordonnées x 

 et y en fonction de la 

 variable w, et, par suite, 

 elles peuvent être consi- 

 dérées comme les équa- 

 tions du lieu. 



On peut remplacer ces 

 équations par d'autres 

 qui s'endéduisent. Ainsi 

 d'abord, en élevant ces 

 équations au carré et 

 les ajoutant membre à 

 membre, il vient 



{x—xo)r + {y — yo)^=-oi 



COS (co + i 



ou 



ou encore 



\x — xof + {y — yoY = -^ ^\ 



46) x- + y- + r- -2r [x sin w + ?/ cos w) = — - (çi + r- - 1l\ f cos w). 



Cette équation représente la circonférence variable de centre A 



et de rayon p^ = — ci, sur laquelle, d'après le théorème de Ger- 



gonne, se trouve le point P2. 

 Ecrivons maintenant les équations (4o) sous la forme suivante : 

 ^ X =^ r sin co — pa sin w cos i-i — 02 cos a> sin h 

 I y = r cos 0) — 02 cos oj cos 1-2 — p2 sin w sin ù, 

 puis multiplions la première par cos oj, la seconde par sin oj, et 

 retranchons la seconde de la première ; il vient : 



X cos w — y sin oj = — p2 sin «2, 

 ou en remplaçant 02 et sin h par leurs valeurs 



wf 

 X cos OJ — y sin o) = — 01 sin i\. 



n:, 



