312 J. DESCHAMPS. — CAUSTIQUES ET ANTICAUSTIQUES 



de la courbe anticaiistique par rapport à la circonférence dont l'équa- 



tion est x"- + y'- + f^ {l\ + r-) = o 



est moyenne proportionnelle entre le diamètre de la circonférence 

 primitive et la distance du point considéré au pôle. 



Cette équation présente d'ailleurs le très grand inconvénient de 

 ne pas représenter simplement et exclusivement la courbe anti- 

 caustique. En effet, d'après la manière dont elle a été obtenue, elle 

 représente le lieu des points de rencontre des circonférences décrites 

 des divers points de la circonférence de la surface réfringente 



comme centres avec le rayon variable 02 = pi, avec les diverses 



parallèles menées par le pôle aux rayons des points d'incidence. 

 Or, sur chacune de ces parallèles, il y a deux points de rencontre, 

 dont un seul appartient à l'anticaustique, et fait partie de l'enve- 

 loppe des sphères indiquées dans le théorème de Gergonne, c'est- 

 à-dire de la surface d'onde des rayons réfractés. L'autre point de 

 rencontre appartient à une enveloppe différente prévue dans le 

 même théorème, bien que nous ne l'ayons pas mentionnée. En 

 supposant en effet que les rayons réfractés soient réfléchis par la 

 même surface qui leur a donné naissance, la surface d'onde de ces 

 rayons réfléchis est précisément cette seconde enveloppe. 



La courbe représentée par l'équation (49) qui est du 4^ degré, est 

 donc en réalité formée de deux courbes qui sont en général distinc- 

 tes, ce qui n'implique pas pour cela que chacune de celles-ci soient 

 du second degré. On peut dire donc ici que le calcul est en infé- 

 riorité vis-à-vis de la géométrie, car la méthode graphique ne 

 donne lieu ni à confusion, ni à ambiguïté. On sait en effet, d'après 

 la théorie exposée et par la marche même des rayons, quel est 

 celui des deux points de rencontre qui appartient à la courbe 

 anticaustique, en sorte que celle-ci se construit sans difficulté. 



Il n'est pas sans intérêt, au point de vue géométrique, de cher- 

 cher la nature de la courbe représentée par l'équation (49). Trans- 

 portons pour cela l'origine au point de l'axe y ayant pour ordonnée 



la quantité — r/i, c'est à-dire précisément au pôle I. L'équation de 



la courbe devient alors, tous calculs faits 



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