J. DESCHAMPS. — CAUSTIQUES ET ANTICAUSTIQUES 313 



Si maintenant on transforme en coordonnées polaires, on peut 

 extraire la racine carrée des deux membres, et Ton a 



wf n-; — nl/n'i\ 

 p2 + 2-4/i p sin a —-r^ ( r-' ^ /i r-M :+: 2r o = o 



OU 



/ni \ nl-nl/ n^ \ 

 (49 ter) p^ + 2( -i- A sin a qz r ) p - , ' ( r^ ^ /i ) = o. 



Wi / ^^ V ni I 



Ou reconnaît la forme polaire de l'équation des ovales de Descaiies, 

 rapportées à un de leurs foyers pour pôle et à leur axe de symétrie 

 pour axe polaire. 



Les résultats précédemmeut obtenus sont intéressants en ce 

 sens qu'ils établissent une série de propriétés de ces courbes, et 

 qu'ils permettent de les construire par points. Ils mettent aussi en 

 évidence cette propriété remarquable de la circonférence directrice 

 de centre d'être le lieu des points du plan tels que le rapport de leurs 

 distances aux ovales de Descartes ainsi construites d'une part, et à un 



de leur foyer Pi, d'autre part, est constant et égal à -^ . On a ainsi 



Wl 



AP2 _ n2 

 A Pi m ' 



Comme d'ailleurs le point P'^ étant le conjugué harmonique du 

 point Pi par rapport aux points C et C, on a 



A Pi 



T-p, = constante, 



la multiplication de ces deux égalités nous donne 



AP2- n-2 



-r-frr — X constante- 



AP 1 ni 



La circonférence a donc la même propriété relativement aux 

 ovales de Descartes et chacun de leurs deux foyers Pi et Pi ; seule, 

 la valeur constante du rapport change, quand on passe de l'un à 

 l'autre. 



Pour compléter cette question, il reste à mettre en évidence la 

 propriété géométrique fondamentale qui sert de définition aux 

 ovales de Descartes. On sait que ces courbes sont définies comme 

 le lieu des points du plan tels qu'il existe une même relation 

 linéaire entre leurs distances à deux points fixes. 



Or on a trouvé plus haut (form. 35) pour la distauce du point 

 P2 de l'anticaustique au foyer Pi 



Bull. Soc. Philom. de Paris, 9" Série, N"'* o-4, iy0:iiyû3. v, — 21. 



