314 J. DESCHAMPS. — CAUSTIQUES ET ANTICAUSTIQUES 



,oM, n D ^^" ( i'2 — ii ) 



do Pi Fi' = pi ■——■ 



^ ' ' sin «1 



En remplaçant pi par sa valeur tirée de la foraiule (29) 



(29) pi sin «1 = U sin oj, 



il vient 



sin o) sin ( k — ?:i ) 



ri rs = il . 9 • • 



Sin- zi 



Développons le second membre en tenant compte de la relation de 

 Descartes, il vient : 



^ ^ , sin M ni cos ^^ — m cos h 



a Pi Ps = il -. — : ^• 



^ ' sm Z2 î^2 



Calculons maintenant la distance I Pi> du point Pa au pôle I. Le 

 triangle I Pi> Pu nous donne 



iP. = iP5?i^irii^^ ■ 



sin ^^ 



= (0 I - PI) ï?i^M^ 



^ -^ sin *2 



ou 



\ Wg / sin i2 



En se rappelant la relation (28) 



(28) h sin ( co + ï2 ) = r sin zg 



il vient 



ou encore 



I P2 = — T H ^^ — -■ — r 



ni sin ^2 



^ ^ , sin Z2 sin ( o) + «2 ) 



I P2 = /i r-v-^ -^ — r. 



sin- ^l 



Développons eufin sin ( w + «2 ), nous trouvons en définitive 



, ^ ni , Ml cos w sin ii + »i2 sin w cos is 



(b I P2 = — h : — -. '*. 



^ ns n2 sin ^^ 



Gela étant, multiplions la formule (a) par ni, la formule (b) par 

 n2, et ajoutons membre à membre ; il nous vient : 



ni Pi P2 + ns I P2 = — • —• — — ni sin ( w -t- il ) — 712 r, 

 m sin ti \ / 7 



c'est-à dire en tenant compte de la relation (27) 



(27) Il sin ( (li + il ) = r sin h 



