J. DESCHAMPS. — CAUSTIQUES ET ANTIGAUSTIQUES 3io 



établie plus haut : 



ou enfin 



m Pi P2 + W2 1 P2 = — r — m r 



(c) ni Pi P2 + W2 1 P2 — r. 



n2 



Cette formule établit la relation linéaire demandée. 



Nous pouvons également chercher s'il existe une relation 

 linéaire entre les distances du 

 point P2 de la courbe aux deux 

 foyers Pi et P'i. A cet effet nous 

 remarquons que le théorème 

 de Ptolémée appliqué au quatri- 

 latère inscriptible A Pi P2 P'i 

 (fig. 49) nous donne 



Pi P2. AP'l + P'lP2. 



APi = PiP'i. AP.2 

 Or, à cause de triangle APi P'i, 



AP'l sin (oj ii) r 



APi sin il 



il en résulte 



r 

 APi =-p- pi. 



fi 



II 



D'autre part 



ni 



AP2 = 02 = Pi. 



n2 



Enfin, la distance Pi P'2 des 

 deux foyers est fixe et connue ; on a en effet 



Fig. 19. 



Pi F2 = OP'2 



ri 



H 



En tenant compte de ces résultats, la relation établie plus haut 

 devient, depuis la suppression du facteur commun 01 



k m \ Il / 



ou 



(d) 



r Pi P2 + /i P'i P2 



ni 

 m 



('•'-''') 



Telle est la nouvelle relation linéaire cherchée. C'est la forme 



