316 J. DESCHAMPS. — CAUSTIQUES ET ANTICAUSTIQUES 



obtenue à l'aide d'une méthode un peu différente, par Slurm qui 

 a le premier prouvé, sans toutefois le prouver explicitement, que 

 la courbe lien du point P est une ovale de Descartes. 



Les ovales de Descartes constituent une courbe à trois foyers, 

 qui sont ici les points Pi , P'i et le pôle I. Ces trois foyers peuvent 

 être associés deux à deux de trois façons ; or, quel que soit le 

 couple considéré, la courbe possède la même propriété exprimée 

 par des relations de même forme. On remarquera que la relation (c), 

 obtenue la première, présente la particularité curieuse d'être indé- 

 pendante de la longueuur U, c'est-à-dire de la position Pi, tandis 

 que la relation (d) en dépend. 



Nous ajouterons, pour conclure, que, dans le cas particulier de 



il = -^ Ti l'équation (49 bis) devient 



/ n: \' 



X- + ^'^' + 2 — A (/' = 4 r2 ( x^ -f if^ ) 

 nz J 



équation d'un limaçon de Pascal, auquel se réduisent alors les 

 ovales de Descartes. 



Diverses formes de la courbe antigaustique. — Indépendamment 

 du rayon r de la surface réfringente, les paramètres de la courbe 



anticaustique sont : 1" le rapport des indices de réfraction ; 



2» la distance /i du point lumineux au centre. Il y a lieu d'exami- 

 ner l'influence de la variation de ces paramètres sur la forme de 

 la courbe. 



Dans les applications, la variation du rapport des indices a rela- 

 tivement peu d'importance, car cette variation ne se fait ordinaire- 

 ment que dans des limites peu étendues. Nous allons voir d'ailleurs 

 que l'influence de cette variation peut être rattachée à celle de la 

 variation de la distance du point lumineux au centre. 



La position du point lumineux entraîne, comme nous l'avons 



n\ 

 vu, celle du pôle, dont la distance au centre a pour valeur — ~- li. 



nz 



Nous distinguerons alors trois cas suivant que le pôle est intérieur 

 ou extérieur aux deux points fixes Pi et P/, qui sont ici les analo- 

 gues des foyers de l'ellipse, ou qu'il coïncide avec le point Pi. Or 

 la distance PI = /i de ce dernier point a pour valeur 



U 



(1) Annales de Gergonne, t. xv, page 211. Uecherclies sur les caustiques, par 

 Ch. Sturns. 



