J. DESCHAMPS. — CAUSTIQUES ET ANTICAUSTIQUES 327 



Pour calculer la quantité flws + dk , nous remarquerons que le 

 point S, et par suite la longueur OS, restent fixes quand on passe 

 du point A au point A'. Par conséquent, en posant OS = k, le 

 triangle AOS nous donne 



h sin (to2 + ^2) = r sin zs, 



d'oîi l'on tire par différentiation. 



I2 cos (102 + k] {d(Di + dk) = r cos k dh. 



on déduit de / à et de la formule précédente 



/Hn\ J I ^- cos*2 sin (w2 +^2) ,. 



(37), rfa)2 + di2 = - . —. ~ i-v-; di2 . 



^ ' sin 11 cos (oj2 + ^2) 



En tenant compte des formules (42) et (36), et en désignant 

 actuellement par 02 la longueur inconnue AS, la formule (36) 

 devient 



lh»\ £?_ — ^^Q ^- tg (co + ^"l) rfii_ ^ 



' pi ~~ sin il * tg (o) + it) dh 



Or les triangles AOPi , AOS nous donnent 



pi sin ((o + il) = r sin co 



p2 sin ((D2 + ^2) = /■ sin 102 ; 

 et comme 



sin to == sin | (w + ii) — i\ \ 



sin (02 = sin | ({02 + ig) — ?2 | , 

 on tire des formules précédentes 



On a d'ailleurs 



rfis cos î2 sin i\ 



A l'aide de tous ces résultats, la formule (38) devient 



p2 cos il sin i2 r cos i2 — ?2 



pi cos i2 sin i\ r cos ii — pi 



On transforme aisément cette formule en la suivante 



,„^, . ,COS i2 1 i 1 • |COS il 1 \ 1 



59 COS 12 ,• ■ =COS 11 ~ L;n i ' 



\ ' \ ?"-! ' / Sin e2 \ pi r I sin i\ 



qui, non seulement permet de calculer l'inconnue y-i = AS, mais 



