BULLETIN 



SOCIÉTÉ PHILOMATHIOUE DE PARIS 



DEMONSTRATION DIRECTE 

 DE LA RELATION QUI EXISTE ENTRE LE NOMBRE 



DES PERMUTATIONS ALTERNÉES 

 ET CELUI DES PERMUTATIONS QUASI- ALTERNÉES, 



par M. Désiré ANDRÉ. 



1. — La relation dont il s'agit consiste dans l'égalité 



An+l = 2An + Bn, 



OÙ An + 1 représente le nombre des permutations alternées de n-\-1 

 éléments ; A n , le nombre des permutations alternées de n éléments ; 

 et Bn, le nombre des permutations quasi- alternées de n éléments. 



2. — Dans mon Mémoire sur les permutations quasi-alternées (1 ), 

 j'ai donné cette relation, en la tirant de la formule fondamentale 

 de la théorie des séquences. Je me propose ici de démontrer cette 

 même relation, d'une façon tout à-fait directe, par des considéra- 

 tions et raisonnements purement combinatoires. 



Mais, avant de procéder à cette démonstration, je rappellerai, le 

 plus simplement possible, les définitions qui nous sont indispen- 

 sables. 



3. — D'abord, nos permutations de n éléments ne sont autres 

 choses que les permutations des n premiers nombres. Telle est la 

 permutation 



46215738, 

 oiî n est égal à 8. 



(1) Journal de mathématiques pures et appliquées, 5" Série, T. 1, p. 315, 

 année 1895. 



