6 ANDRÉ. — PERMUTATIONS ALTERNÉES 



Ensuite, dans chacune de ces permutations, l'élément initial, 

 ainsi que l'élément final, est un maximum ou un minimum, selon 

 qu'il est supérieur ou inférieur à son unique voisin ; un élément 

 intermédiaire est un maximum ou un minimum, selon qu'il est 

 supérieur ou inférieur à chacun de ses deux voisins. Dans la per- 

 mutation ci-dessus, chacun des éléments 6, 7, 8 est un maximum ; 

 chacun des éléments 4, 1, 3 est un minimum. 



Enfin, une permutation est alternée lorsque tous ses éléments 

 sont des maxima ou des minima ; quasi-alternée lorsqu'ils le sont 

 tous excepté un seul, que nous nommons Vêlement moj'en, et qui 

 est forcément un élément intermédiaire. De ces deux permutations 



1325476, 1325467, 



la première est alternée ; la seconde, quasi-alternée ; et, dans cette 

 dernière, c'est le nombre 6 qui est Vêlement moj^en. 



. 4. — Évidemment, toute permutation de n^i éléments peut être 

 regardée comme provenant d'une permutation de n éléments, où 

 l'on a introduit, à une certaine place, l'élément n f /. 



Pour savoir de quelles permutations de n éléments proviennent 

 les permutations alternées ûQn-\- 1 éléments, je vais considérer le 

 système complet de ces dernières, et chercher ce qu'on obtient 

 lorsque l'on supprime cet élément n-\- î dans chacune de ces per- 

 mutations. 



5, — Si, dans la permutation alternée considérée, l'élément n^l 

 occupe la première place, on obtient, en le supprimant, une per- 

 mutation alternée de n éléments, qui commence par un minimum. 

 Et de même, s'il occupe la dernière place, on en obtient une qui 

 finit par un minimum. 



Si l'élément n + J, dans la permutation alternée considérée, 

 occupe la deuxième place, et que, dans cette même permutation, 

 le premier élément soit supérieur au troisième, on obtient, en sup- 

 primant n+i, une permutation alternée de n éléments, qui 

 commence par un maximum. Et de même, si n+ 1 occupe l'avant- 

 dernière place, et que le dernier élément soit supérieur à l'anté- 

 pénultième, on obtient, par la suppression de /i + /, une permu- 

 tation alternée de n éléments, qui finit par un maximum. 



Si l'élément n+l, dans la permutation alternée considérée, 

 occupe la deuxième place, et que, dans cette même permutation, 

 le premier élément soit inférieur au troisième, on obtient, en 

 supprimant n + /, une permutation quasi-alternée de n éléments, 



