ET PERMUTATIONS QUASI-ALTERNEES / 



qui cômmeoce par im minimum et où Vêlement moj-en est à la 

 deuxième place. Et de même, si n-\- 1 occupe ravaut-dernière 

 place, et que le dernier élément soit inférieur à l'autépénultième, 

 on obtient, par la suppression de n^i, une permutation quasi- 

 alternée de n éléments, qui finit par un minimum, et où Vêlement 

 moyen est à l'avaut-dernière place. 



Enfin, si 7z +- :/ occupe la /*;""• place, k étant supérieur à 2 mais 

 inférieur à n, on obtient, en supprimant n+ /, une permutation 

 quasi- alternée de n éléments, où les éléments entre lesquels n -f- 1 

 était plr.cé sont à présent, l'un un élément minimum et l'autre 

 l'élément moyen de la nouvelle permutation. 



6. — Ainsi, en supprimant l'élément n -f / dans les permutations 

 alternées de n + I éléments, on n'obtient que des permutations 

 alternées ou qiiasi-alternées de n éléments. 



Toute pt^rmutation alternée de n + 1 éléments peut donc être 

 regnrdée comme provenant d'une permutation alternée ou qiiasi- 

 nlternée de n éléments, où l'on a introduit l'élément n ^ I k une 

 filace convenable. 



Il suit immédiatement de là que les permutations alternées de 

 71+ / éléments se partagent en deux groupes : colles qui pro- 

 viennent des permutations alternées de n éléments, celles qui 

 proviennent des permutations quasi- alternées de n éléments. Nous 

 allons chercher combien chacun de ces groupes contient de per- 

 mutations. 



7. — Étant donnée une permutation alternée de n éléments, à 

 quelle place faut-il y introduire l'élément /i + / pour obtenir une 

 permutation alternée de n + / éléments? 



D'après ce qui précède, pour arriver à ce résultat, ou n'y peut 

 introduire n -[- 1 dans aucune des places comprises entre le 

 deuxième élément et l'avant-dernier. En d'autres termes, on ne 

 peut essayer d'y introduire /i+ / qu'à la gauche ou à la droite de 

 l'élément initial, qu'à la gauche ou à la droite de l'élément final. 



Considérons l'élément initial delà permutation donnée. Si c'est 

 un minimum, on obtient une des permutations demandées, en pla- 

 çant n-\- 1 à sa gauche, mais non pas à sa droite. Si c'est un 

 maximum, en plaçant n+ / à sa droite, mais non pns à sa gauche. 



Considérons l'élément final de la permutation donnée. Si c'est 

 un minimum, on obtient une des permutations demandées en 

 plaçant n + 1 à sa droite, mais non pas à sa gauche. Si c'est un 



