8 ANDRE. — PERMUTATIONS ALTERNEES 



maximum, en plaçant n H- / à sa gauche, mais non pas à sa droite. 



Ainsi, étant donnée une permutation alternée de n éléments, on 

 en peut déduire une, et une seule, des permutations demaadées en 

 plaçant n + 1 k côté de son élément initial ; une, et une seule, en 

 plaçant n-\- 1 k côté de son élément final. 



Par conséquent, toute permutation alternée de n éléments four- 

 nit, par l'introduction de n + V.deux des permutations demandées, 

 lesquelles, à leur tour, si l'on y supprimait n + 7, reproduiraient 

 la permutation donnée. Donc : 



Le nombre des permutations alternées de n -f / éléments, qui 

 proviennent des permutations alternées de n éléments, est juste 

 égal au double du nombi^e de ces dei^nièi^es. 



8. — Étant donnée une permutation quasi-cdtcrnée de n élé- 

 ments, à quelle place faut-il y introduire l'élément /z -h 7 pour 

 obtenir une permutation alternée de n+ l éléments? 



D'après ce qui précède, il y a, dans chaque permutation quasi- 

 alternée de n éléments, une place et une seule où l'introduction de 

 n + / produit ce résultat : c'est la place unique comprise entre 

 l'élément moyen de cette permutation et l'élément minimum qui 

 lui est juxtaposé. 



Par conséquent, toute permutation quasi- alternée de n éléments 

 nous donne, par l'introduction de n + / dans la place indiquée, 

 une permutation alternée de n + / éléments, laquelle évidemment 

 reproduirait la première si l'on y supprimait n\- /. Donc : 



Le nombre des permutations alternées de n -h / éléments, qui 

 proviennent des permutations quasi- alternées de n éléments, est 

 juste égal.au nombre de ces dernières. 



9. — Si nous nous rappelons que An représente le nombre des 

 permutations a/ifer/iée5 de n éléments, et Bn celui des permutations 

 quasi-alternées de n éléments, nous pouvons énoncer en ces termes 

 les deux propositions précédentes : 



Le nombre des permutations alternées de n -{- i éléments, qui 

 proviennent des permutations alternées de n éléments, est ég'al à 

 2An; 



Le nombre des permutations alternées de n+ I éléments, qui 

 proviennent des permutations quasi-alternées de n éléments, est 

 égal à Bn . 



Or, les permutations alternées de n + J éléments se partagent, 

 nous l'avons vu, en deux groupes : celles qui proviennent des 



