﻿PLANILLAS 
  DE 
  CALCULO 
  ANALÍTICO 
  DE 
  LAS 
  ÁREAS 
  

  

  87 
  

  

  caso 
  de 
  la 
  figura 
  adjunta, 
  obligaría 
  á 
  considerar 
  un 
  número 
  infí- 
  

   nito 
  de 
  casos, 
  tantos 
  como 
  posiciones 
  diferentes 
  puede 
  ocupar 
  la 
  

   poligonal 
  y 
  sus 
  extremos, 
  con 
  respecto 
  á 
  los 
  ejes 
  de 
  proyección, 
  de 
  

   modo 
  que 
  es 
  indispensable 
  para 
  la 
  generalidad 
  de 
  la 
  prueba^ 
  em- 
  

   plear 
  el 
  método 
  analítico. 
  

  

  (^n 
  y„ 
  ) 
  

  

  Sean, 
  entonces, 
  x^y^, 
  ^iVi, 
  ••• 
  ^nVa, 
  las 
  coordenadas 
  de 
  los 
  vérti- 
  

   ces 
  de 
  la 
  línea 
  poligonal 
  ; 
  llamando 
  S 
  ú 
  la 
  superficie 
  comprendida 
  

   entre 
  ella 
  y 
  el 
  eje 
  de 
  las 
  abscisas, 
  sabemos 
  que 
  : 
  

  

  2S 
  = 
  (^1 
  + 
  yo) 
  (^2 
  — 
  X\) 
  -f 
  (2/0 
  + 
  y-¡) 
  ipO. 
  — 
  07.) 
  + 
  ... 
  + 
  

  

  {yu 
  - 
  1 
  + 
  y,) 
  {(^n 
  — 
  ^n 
  - 
  1). 
  

  

  Por 
  lo 
  mismo, 
  llamando 
  S' 
  al 
  doble 
  de 
  la 
  área 
  comprendida 
  

   entre 
  la 
  poligonal 
  y 
  el 
  eje 
  de 
  las 
  ordenadas, 
  tenemos 
  que 
  

  

  2S 
  ' 
  ={x, 
  + 
  X,) 
  (yo 
  - 
  y,) 
  + 
  (^2 
  + 
  ^3) 
  (2/3 
  - 
  2/2) 
  + 
  ••• 
  + 
  

  

  (x„ 
  _ 
  1 
  + 
  X,) 
  (y„ 
  — 
  y„ 
  _ 
  i). 
  

  

  Estas 
  dos 
  igualdades 
  se 
  pueden 
  escribir 
  : 
  

  

  2S 
  = 
  Hx.Aj, 
  — 
  ^x,yo 
  + 
  llx.^y. 
  — 
  ^x.y^ 
  

   2S 
  ' 
  = 
  Sí!7i2/2 
  — 
  Sí»2yi 
  + 
  Scco?/3 
  — 
  Sa?i?/i. 
  

   En 
  la 
  penúltima 
  suma, 
  Scco^o, 
  existen 
  todos 
  los 
  productos 
  dos 
  á 
  

  

  