﻿LA 
  DIAGONALIDAD 
  173 
  

  

  El 
  de 
  planos 
  diagonales 
  de 
  un 
  ángulo 
  poliedro 
  connpleto 
  [figura 
  

   originada 
  por 
  n 
  planos 
  (caras) 
  concurrentes, 
  pero 
  una 
  terna 
  cual- 
  

  

  quiera 
  de 
  ellos 
  no 
  coaxiales 
  y 
  por 
  las 
  ^ 
  recias 
  (aristas) 
  ori- 
  

   ginadas 
  por 
  los 
  primeros 
  de 
  dos 
  en 
  dos]. 
  

  

  Para 
  /i== 
  I, 
  íí 
  = 
  2, 
  n=3, 
  no 
  existen 
  elennentos 
  diagonales, 
  como 
  

   se 
  deduce 
  de 
  la 
  (I). 
  Si 
  ?í 
  = 
  í 
  obtendremos 
  tres 
  de 
  dichos 
  elementos 
  

   que 
  constituyen 
  lo 
  que 
  se 
  llama 
  el 
  triángulo, 
  trilátero, 
  triaristo 
  ó 
  

   triedro 
  diagonal 
  de 
  la 
  figura 
  correspondiente. 
  

  

  Pasemos 
  al 
  polígono 
  gauso 
  completo 
  formado 
  por 
  ?i 
  puntos 
  (vér- 
  

   tices) 
  cuatro 
  cualesquiera 
  de 
  ellos 
  no 
  coplanares, 
  por 
  las 
  ^ 
  ■ 
  

  

  rectas 
  (aristas) 
  que 
  aquellos 
  determinan 
  de 
  dos 
  en 
  dos 
  y 
  por 
  los 
  

  

  )i 
  (n 
  ] 
  ) 
  (n 
  — 
  2) 
  

  

  — 
  -^ 
  a 
  \ 
  — 
  — 
  planos 
  (caras), 
  que 
  los 
  mismos 
  originan 
  de 
  tres 
  

  

  en 
  tres. 
  

  

  Llamando 
  recta 
  diagonal 
  de 
  primera 
  especie 
  la 
  formada 
  por 
  la 
  in 
  • 
  

   tersección 
  de 
  dos 
  planos 
  que 
  no 
  tengan 
  ningún 
  vértice 
  común, 
  re- 
  

   sulta 
  que 
  sobre 
  un 
  plano 
  cualquiera 
  del 
  polígono 
  habrá 
  tantas 
  

   cuantos 
  planos 
  determinen 
  los 
  n 
  — 
  ^3 
  vértices 
  ajenos 
  al 
  plano 
  consi- 
  

   derado 
  y 
  teniendo 
  en 
  cuenta 
  la 
  repetición 
  de 
  un 
  mismo 
  elemento, 
  

   el 
  número 
  total 
  será: 
  

  

  1 
  n 
  (n 
  — 
  \ 
  ) 
  (» 
  — 
  2) 
  ^ 
  (n 
  — 
  3) 
  (n 
  — 
  4) 
  (n 
  — 
  5) 
  

  

  o 
  sea 
  

  

  2 
  2x3 
  " 
  2x3 
  

  

  n 
  {n 
  — 
  I 
  ) 
  (n 
  — 
  2) 
  (?i 
  — 
  3) 
  (n 
  — 
  4) 
  (n 
  — 
  5) 
  

   2' 
  X 
  3~ 
  

  

  (2) 
  

  

  Pero 
  también 
  puede 
  considerarse 
  la 
  intersección 
  de 
  dos 
  caras 
  que 
  

   tengan 
  un 
  solo 
  vértice 
  común 
  ; 
  la 
  línea 
  que 
  así 
  resultase 
  llama 
  dia- 
  

   gonal 
  de 
  segunda 
  especie, 
  y 
  sobre 
  el 
  plano 
  de 
  una 
  cara 
  de 
  la 
  figura 
  

   habrá 
  un 
  número 
  igual 
  al 
  de 
  planos 
  formados 
  por 
  la 
  combinación 
  

   de 
  cada 
  uno 
  de 
  los 
  tres 
  vértices 
  situados 
  sobre 
  dicha 
  cara 
  con 
  los 
  

  

  /,, 
  o\ 
  /„, 
  t\ 
  

  

  n 
  -r~ 
  3 
  puntos 
  restantes, 
  es 
  decir 
  : 
  3 
  — 
  ^ 
  -' 
  El 
  número 
  

  

  total 
  corregido 
  de 
  las 
  repeticiones 
  será 
  entonces 
  : 
  

  

  n(n- 
  1)(n- 
  ^2) 
  (n 
  - 
  3) 
  (n 
  - 
  i) 
  .^^ 
  

  

  93 
  ^^^ 
  

  

  