﻿LA 
  DIAGONALIDAD 
  177 
  

  

  seis 
  veces 
  el 
  mismo, 
  j 
  como 
  tres 
  de 
  éstas 
  han 
  sido 
  ya 
  tomadas 
  en 
  

   cuenta 
  en 
  la 
  fórmula 
  (3) 
  aquí 
  aplicada, 
  el 
  número 
  final 
  será 
  : 
  

  

  n 
  {n 
  - 
  \ 
  ) 
  {n 
  - 
  2) 
  (n 
  - 
  3) 
  {n 
  — 
  4) 
  (n 
  - 
  5) 
  

  

  ^—-^ 
  (y) 
  

  

  Aplicando 
  el 
  principio 
  de 
  dualidad 
  en 
  el 
  espacio, 
  bastaría 
  cam- 
  

   biar 
  en 
  todo 
  el 
  raciocinio 
  aplicado 
  al 
  polígono 
  gauso 
  completo, 
  las 
  

   palabras 
  puntos 
  por 
  planos 
  y 
  plano 
  por 
  punto 
  para 
  que 
  las 
  fórmu- 
  

   las 
  (2) 
  á 
  (9) 
  determinen 
  las 
  rectas 
  y 
  planos 
  diagonales 
  de 
  las 
  dife- 
  

   rentes 
  especies 
  en 
  un 
  poliedro 
  completo, 
  definidos 
  éste 
  y 
  aquellos 
  

   del 
  modo 
  correspondiente 
  al 
  principio 
  de 
  dualidad. 
  

  

  Sumando 
  las 
  fórmulas 
  (5) 
  á 
  (9), 
  sacando 
  factores 
  comunes 
  y 
  sim- 
  

   plificando, 
  resulla 
  que 
  el 
  número 
  total 
  de 
  puntos 
  ó 
  planos 
  diago- 
  

   nales 
  en 
  un 
  polígono 
  gauso 
  ó 
  poliedro 
  completo, 
  respectivamente, 
  

   es: 
  

  

  n 
  (n 
  — 
  1 
  ) 
  (n 
  — 
  2) 
  (n 
  — 
  3 
  (n 
  — 
  4) 
  

  

  2424 
  ■ 
  >< 
  

  

  (n' 
  + 
  n^ 
  — 
  73n^ 
  + 
  257?i 
  -- 
  102) 
  (10) 
  

  

  y 
  añadiendo 
  á 
  estala 
  (4) 
  = 
  (2) 
  4- 
  (3) 
  resulta 
  esta 
  otra 
  fórmula 
  final 
  

   que 
  expresa 
  el 
  número 
  total 
  de 
  elementos 
  diagonales 
  de 
  un 
  polígo- 
  

   no 
  gauso 
  completo 
  ó 
  de 
  un 
  poliedro 
  completo 
  de 
  ?i 
  elementos 
  pri- 
  

   mitivos 
  : 
  

  

  u 
  (n 
  - 
  1) 
  (n 
  - 
  2) 
  (n 
  — 
  3) 
  (n 
  — 
  4) 
  

   2^ 
  X 
  3^ 
  

  

  (yi4 
  _|. 
  if 
  _ 
  7y;^2 
  ^ 
  275.^^ 
  _ 
  30) 
  . 
  (M 
  ) 
  

  

  Una 
  simple 
  inspección 
  de 
  estas 
  fórmulas 
  hace 
  ver 
  que 
  no 
  siem- 
  

   pre 
  existirán 
  todos 
  los 
  elementos 
  diagonales. 
  

  

  Si?i 
  = 
  4todas 
  las 
  fórmulas 
  anteriores 
  se 
  anulan 
  por 
  contener 
  

   el 
  término 
  (n 
  — 
  4); 
  esto 
  nos 
  indica 
  que 
  un 
  tetraedro 
  no 
  posee 
  ele- 
  

   mentos 
  diagonales; 
  para 
  valores 
  mayores 
  den 
  dichos 
  elementos 
  

   existirán 
  aunque 
  puede 
  muy 
  bien 
  faltar 
  algunas 
  especies: 
  así 
  para 
  

   n 
  = 
  b 
  no 
  existe 
  sino 
  rectas 
  diagonales 
  de 
  segunda 
  especie 
  (15) 
  y 
  pun- 
  

   tos 
  diagonales 
  de 
  tercera 
  (10). 
  

  

  Las 
  rectas 
  diagonales 
  de 
  primera 
  especie 
  y 
  los 
  puntos 
  de 
  quinta 
  

   aparecen 
  recién 
  en 
  el 
  exágono; 
  los 
  de 
  cuarta 
  en 
  el 
  eptágono; 
  los 
  de 
  

  

  AN. 
  SOC. 
  CIENT. 
  AR6.— 
  T. 
  XLII 
  12 
  

  

  