﻿LA 
  DIAGONALIDAD 
  

  

  201 
  

  

  de 
  lal 
  modo 
  que 
  sus 
  lados 
  giren 
  al 
  rededor 
  de 
  otros 
  tantos 
  puntos 
  

   fijos 
  Oi, 
  Oá, 
  O3, 
  ..., 
  mientras 
  que 
  sus 
  vértices 
  menos 
  uno, 
  se 
  mueven 
  

   sobre 
  rectas 
  fijas 
  u^, 
  u^, 
  u^..., 
  el 
  último 
  vértice 
  v 
  un 
  punto 
  diagonal 
  

   cualquiera 
  describen 
  una 
  cónica, 
  mientras 
  que 
  una 
  recta 
  diagonal 
  

   envuelve 
  otra 
  cónica 
  y 
  correlativamente 
  (*) 
  en 
  el 
  plano 
  y 
  en 
  la 
  ra- 
  

   diación. 
  

  

  Y 
  en 
  efecto, 
  si 
  un 
  vértice 
  recorre 
  la 
  recta 
  Uj, 
  proyectado 
  desde 
  el 
  

   punto 
  Oi 
  correspondiente, 
  nos 
  dará 
  una 
  nueva 
  posición 
  del 
  lado 
  del 
  

   polígono, 
  la 
  cual 
  cortará 
  á 
  Uo 
  según 
  el 
  vértice 
  siguiente, 
  éste 
  pro- 
  

   yectado 
  desde 
  O2 
  dará 
  otro 
  lado 
  que 
  cortará 
  á 
  u^ 
  según 
  otro 
  vértice, 
  

   etc.; 
  al 
  rededor 
  de 
  Oi, 
  O,, 
  O3 
  ... 
  quedan 
  determinados, 
  pues, 
  haces 
  

   de 
  rayos 
  proyectivos 
  unos 
  con 
  otros 
  (siendo 
  perspectivos 
  dos 
  conse- 
  

   cutivos 
  cualesquiera 
  por 
  ser 
  ambos 
  proyección 
  de 
  la 
  puntual 
  w 
  in- 
  

   termedia); 
  sus 
  intersecciones 
  serán 
  entonces 
  puntos 
  de 
  una 
  cónica, 
  

   pero 
  esas 
  intersecciones 
  son 
  ó 
  una 
  de 
  las 
  11 
  ó 
  un 
  punto 
  diagonal 
  ó 
  

   el 
  último 
  vértice; 
  queda 
  entonces 
  demostrada 
  la 
  primera 
  parte. 
  En 
  

   cuanto 
  á 
  las 
  rectas 
  diagonales, 
  ellas 
  unen 
  vértices 
  no 
  consecutivos 
  

   y 
  como 
  éstos 
  describen 
  las 
  puntuales 
  u 
  proyectivas, 
  resulta 
  que 
  las 
  

   susodichas 
  diagonales 
  envolverán 
  en 
  general 
  una 
  cónica. 
  

  

  Finalmente, 
  como 
  propiedad 
  importante 
  del 
  cuadrilátero 
  com- 
  

   pleto, 
  Gauss 
  (*^) 
  ha 
  hecho 
  observar 
  que 
  los 
  tres 
  puntos 
  medios 
  de 
  

   los 
  segmentos 
  de 
  las 
  diagonales 
  comprendidas 
  entre 
  los 
  vértices 
  

   que 
  unen, 
  son 
  colineaies; 
  esta 
  propiedad 
  ha 
  sido 
  demostrada 
  de 
  

   diversos 
  modos 
  ('*''^*) 
  y 
  es 
  un 
  caso 
  especial 
  de 
  un 
  teorema 
  en 
  la 
  cual 
  

   se 
  establece 
  que 
  si 
  en 
  cada 
  una 
  de 
  las 
  diagonales 
  mencionadas 
  se 
  

   toman 
  dos 
  puntos 
  que 
  la 
  dividen 
  armónicamente 
  y 
  si 
  resulta 
  que 
  

   tres 
  de 
  ellos 
  (uno 
  sobre 
  cada 
  diagonal) 
  son 
  colineaies, 
  también 
  lo 
  

   serán 
  los 
  otros 
  tres. 
  

  

  Si 
  se 
  tuviera 
  que 
  demostrar 
  la 
  primera 
  propiedad 
  citada 
  sin 
  ba- 
  

  

  (") 
  PoNGELET, 
  Applications 
  d'analyse 
  et 
  de 
  géométrie, 
  n" 
  502. 
  Paris, 
  1864. 
  

  

  {**) 
  Monatl. 
  corresp. 
  de 
  Zach. 
  22, 
  pág. 
  115. 
  

  

  (*"**) 
  Ann. 
  de 
  Gergonne, 
  I, 
  pág. 
  314; 
  Künze, 
  Geom., 
  pág. 
  200; 
  Poncelet, 
  

   Propr. 
  proj., 
  164; 
  Baltzer, 
  Geom., 
  plan. 
  VIII, 
  65, 
  lo 
  demuestra 
  fundándose 
  

   en 
  ecuaciones 
  baricéntricas 
  ; 
  Cremona, 
  Geom. 
  Pro;., 
  números 
  228 
  y 
  268, 
  se 
  

   basa 
  en 
  el 
  Teorema 
  de 
  Desargues, 
  y 
  teoría 
  de 
  polos 
  y 
  polares, 
  llegando 
  así 
  al 
  

   Teorema 
  de 
  Newton 
  (Philosophical 
  naturalis 
  principia 
  mathematica, 
  1686, 
  lib. 
  I, 
  

   lemma 
  25, 
  cor. 
  3), 
  que 
  establece 
  que 
  : 
  « 
  los 
  centros 
  de 
  todas 
  las 
  cónicas 
  inscrip- 
  

   tas 
  en 
  un 
  mismo 
  cuadrilátero 
  son 
  colineaies, 
  y 
  la 
  recta 
  que 
  les 
  contiene 
  divide 
  

   por 
  mitad 
  á 
  las 
  diagonales 
  del 
  cuadrilátero 
  » 
  . 
  Bodenmiller 
  complementó 
  el 
  

   mismo 
  teorema. 
  

  

  