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sur là frontière (8) de ce domaine. La surface (S) pourra avoir 

 un nombre quelconque de points singuliers et même de lignes sin- 

 gulières, mais elle devra être telle qu'il puisse être question d'inté- 

 grales de volume étendues au domaine (D) et d'intégrales de surface 

 étendues à la surface (S) elle-même. Nous admettrons encore que 

 les dérivées: 



(2) 



32 . 



f 2\f 3*f 



3«f 

 e + i. 



3t 2 3x' 3t*3y 3f z 3z 



existent, qu'elles sont continues pour toutes les valeurs des varia- 

 bles pour lesquelles la fonction / est définie et qu'enfin chacune 

 des quantités (2), considérée comme fonction de t, satisfait, dans l'in- 

 tervalle (a, b) aux „ conditions de Dirichlet 1 )". 



Cela posé, nous allons faire voir qu'il existe une fonction 

 v des variables x, y, z et t jouissant, pour toutes les valeurs de 

 t appartenant à l'intervalle (à, h) des propriétés suivantes: 



-, „ r r ■ , , , . , 3v dv 3v 



V La fonction v et les dérivées — , ;,— , ^— seront continues 



dx ày âz 



dans tout l'espace. 



2° La fonction v vérifiera l'équation (1) en chaque point situé 

 à l'intérieur du domaine (D). 



d° On aura, en chaque point extérieur au domaine (D) 



(3) 



9i 



3 2 v 



9\ 



3t 



tiV 



9o y. + A v = 



al 



Nr. 2. Enonçons certaines propositions bien connues ou aisées 

 à démontrer qui seront indispensables dans la suite. Soit F(x, y, z) 

 une fonction réelle des variables x, y, z. admettant des dérivées 

 partielles du premier ordre finies et continues dans toute l'étendue 

 du domaine (D) et sur la frontière (S) de ce domaine. Cela posé, 

 désignons par y. une constante positive, par r la distance des points 

 (x, y, z) et (x'. y', z) et par d/ la fonction définie par la formule: 



(1) 



l t> (x. y, z) = \\\ — - F (x, y\ z') dx 1 , dy', d'z 



(DJl 



on aura à l'intérieur du domaine (D): 



') Poincaré. Théorie de la propagation de la chaleur p. 54. 



