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Wenn in der Potenzreihe (1) die Coefficienten a„ so beschaffen 

 sind, dass die Zahlenfolgen: 



• • ; a *+*p. 7 • • • (* — ®? 1, 2, . . 



vollstândig bestimmte endliche G-renzen: 



a co) , ë», a m ,...,rfV-- } 

 besitzen, so bat nian: 



■1) 





s (x — y.) 



■ rp.- 



■,(». 



4- z'"a : V--'> 



■ e I 1 



lu der bier vorkommenden Potenzreihe y sind die absoluten 

 Betrage aller Coefficienten a„ bis ins Unendliche kleiner als eine 

 endliche réelle positive Zahl If, so dass 



| y j < M 



ot*— a) 



ist. Daher gehijrt y der Kategorie der ganzen Functionen an und 

 zwar solcher ganzen Functionen, dass aile Coefficienten a„ bis ins 

 Unendliche endlich sind. In meiner Abhandlung habe ich neben 

 den angefuhrten Satzen und einigen mit denselben verbundenen 

 Einzelheiten die Behauptung ausgesprochen, dass nur dieser speziellen 

 Kategorie der ganzen Functionen die Eigenschaft zukommt, solcbe 

 Ableitungen unendlich hoher Ordnung besitzen zu kdnnen. welche 

 analytische Functionen von x sind. Dies ist aber nicht der Fall. 

 Ich wurde nftmlich von meinem Collegen Herrn S. Zaremba da- 

 rauf aufmerksam gemacht, dass auch andere Functionen solcbe 

 Ableitungen unendlich hoher Ordnung besitzen kônnen. Die Richtig- 

 keit dieser Bemerkung kann durch das folgende Beispiel. welcbes 

 ich auch Herrn S. Zaremba zu verdanken habe. bestatigt werden. 

 Es sei in der Potenzreihe (1) a n = \>i\ sofern n das Quadrat 

 einer ganzen Zahl ist, und a„ = 1. sofern dies nicht der Fall ist. 

 Fur dièse Potenzreihe hat man: 



-y.\e 



pc- a) 



\y\ < *- 



sie stellt also eine ganze Function vor, ohne jedocb zu der erwahn- 

 ten Kategorie der ganzen Functionen zu gehoren. Durch Difîeren- 

 tiation der Potenzreihe y folgt: 



