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ESTUDO SOBRE DESLOCAMENTO 



gundo d'estes pianos content VZ. Conduza-se depois por cada uma das rectas 

 dadas urn piano parallelo a outra e cortem-se estes e os outros pianos por dois 

 pianos perpendiculares a VZ. Teremos assim formado um parallelipipedo re- 

 ctangulo. Tirando por F uma perpendicular as faces oppostas, que passam pe- 

 las rectas dadas, e conduzindo pelos pontos G e //, em que ella encontra as 

 referidas faces, perpendiculares GK e H K' as rectas AD e BE formam-se 

 dois triangulos FGK e FIIK rectangulos em G e H, nos quaes, por serein 

 G K e II K projeccoes de FK e FK' sobre as faces oppostas que passam por 

 AD e BE, as hypothenusas FK e FFJ determinarao as distancias do ponto 

 F as duas rectas dadas. E, porque sao eguaes as rectas UK', GM e GK, 

 visto que G pertence a bissectriz do angulo DAR, e sao eguaes tambem os 

 cathetos FG e FII, segue-se que os dois triangulos rectangulos sao eguaes 

 entre si e por consequencia que o ponto F dista egualmente das duas rectas 

 dadas. 



Prolongando a recta K' F ate encontrar a face .ID acha-se um ponto m, 

 que evidentemente deve ser commum a recta indefinida K' F e a sua projec- 

 cao MGm sobre o piano da mesma face, mas, sendo MK' egual a GUe esta 

 recta dupla de GF, sera Gm egual a GM e por consequencia Gm egual a 

 KG. Por serem eguaes estas rectas e eguaes os angulos, que ellas formam 

 com GP, estarao os pontos m o K sobre uma perpendicular a GP e sera por 

 tanto Km parallela a bissectriz VX. Logo o -piano pqq'p', que contain as dis- 

 tancias d'um ponto F da bissectriz VX as duas rectas dadas, passa pela mesma 

 bissectriz. 



Projectando as rectas FK e FK' sobre a face PE do parallelipipedo, e 

 comparando os triangulos Flip e FK! q rectangulos em p e q, nota-se que el- 

 les sao eguaes, por serem eguaes as hypotbenusas e eguaes os cathetos Kp e 

 K' q, e por consequencia que as projeccoes Fp e Fq sao tambem eguaes. 

 D'esta egualdade, e de estar o ponto F a egual distancia das rectas dadas, 

 segue-se que as distancias FK e FK 1 formam angulos eguaes com a face PE 

 e por tanto que sao eguaes os angulos VFK e VFK' formados pela bissectriz 

 VX com as distancias FK e FK' do ponto F as rectas dadas. Advertindo que 

 e Fp=Fq e FG = FH reconhece-se, que sao eguaes os triangulos rectan- 

 gulos FGp c FHq e por tanto que as rectas Fp e Fq estao no prolonga- 

 mento uma da outra. E este um outro meio de.provar que o piano KFK' passa 

 pela bissectriz VX, Do exposto deduz-se tambem que as projeccoes de FK e 

 FK' sobre VX sao eguaes. 



Conduzindo por qualquer ponto A do espago rectas parallelas a bissectriz 

 VX e as duas rectas dadas, e por a primeira um piano arbitrario, serao eguaes 

 os angulos formados por este piano com as parallelas as duas rectas dadas. 



Basta projectar no piano as parallelas as duas rectas dadas e comparar 



