D UM SOLIDO INVARIAVEL NO ESPAQO 



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sua superficie, formando com elle e com dois pares de pontos homologos M 

 e M, N e JV dois triangulos eMN e eMN', que devem ser eguaes, e tirando 

 em cada iriangulo uma perpendicular do vertice e para os lados oppostos MN 

 e At N 1 . Da egualdade d'aquelles triangulos resulta a egualdade das alluras, 

 e por consequencia a das distancias de e as duas rectas. Se o ponto considerado 

 *' nao estivesse na superficie do paraboloide, tirariamos por elie e parallela- 

 mente a AD (on BE) uma recta, que iria eucontrar a mesma superficie n'um 

 ponto, que designaremos por e. As alturas dos triangulos eMNe e'MN sao 

 eguaes, e as dos triangulos e M' A" ee'M' N' sao deseguaes, e como eMN e eM'N' 

 tem alturas eguaes, segue-se que as alturas dos triangulos e'MN eeM'N', ou 

 as distancias de e' a AD e BE, sao deseguaes. Logo todos os pontos da su- 

 perficie do paraboloide dos eixos, e so elles, dislam egualmente das rectas 

 dadas. 



CAPITULO II 



Dos tli-versos moYimentos tie rota^ao <lo uma recta 



©Tbrig'acla a passar por duas posicoes situadas 



no m.eSj«io piano 



33.— Ditas rectas concorrentes sao geratrizps de dijferente systema de uma 

 infinidade de hyperboloides de revolucdo. Os centros de todos estes hyperboloi- 

 des existent nos pianos conduzidos pelas bissectrizes dos angulos formados pe- 

 las duas rectas perpendicnlarmente ao piano que ellas determinant. Os hyper- 

 boloides transfoirnam-se em pianos, cjuando os centros estao nas bissectrizes, e 

 em cones, quando os centros coincidem com o ponto de concurso das rectas. 



Sejam VD e VE as rectas dadas (fig. 6), VX e VZ as bissectrizes dos 

 angulos formados par ellas, H e P os pianos perpendiculares ao piano D VE 

 conduzidos por VX e VZ. 



Qualquer ponto F situado n'um dos pianos, H ou P, e fora das bissectri- 

 zes, e centro de nra hyperboloide de revolucao, que contem as rectas V D e VE. 



Com effeito, tirando por Fa perpendicular FM a bissectriz VX, e por M 

 perpendiculares MK e MK' as rectas dadas VD e VE, teremos as distancias 

 FK e FFJ do ponto F as mesmas rectas e, e evidenle, que estas distancias, 

 como hypothenusas dos triangulos eguaes FMKe FMK', serao eguaes entre 

 si. piano G, determinado pelas distancias FK e FK', contem a recta KK 

 perpendicular a VX e por isso e perpendicular ao piano H. A recta Fe per- 



