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ESTUDO SOBRE UESLOCAMIiNTO 



pendicular ao piano G exisle, pois, no piano H e e perpendicular a intersec- 

 cao gF dos pianos G e H. As menores distancias da recta Fi as reetas VD 

 e VE sao F/f e FK' e, como estas distancias sao eguaes, os hyperboioides do 

 revolugao descriptos pelas reetas VD e F/<\ movendo-se era torn.; de Ft, teem 

 urn circulo da gola commum descripto no piano G com o centro F e o raio 

 FKou FK 1 . 



A perpendicular ao plan* G conduzida pelo ponto Fexiste no piano // 

 e encoutra-^ n'ura ponto F, pelo qual devem passar as projeccSes de VD e 

 VE sobre o piano G do circulo da gola dos dois hyperboioides. 



Estas projeccoes KV'eK'V conjunctamente com o ponto F determinant 

 dois triangnlos rectangulos WKe VV'K 1 , que sao eguaes entre si por terem 

 urn lado commum VV e dois lados eguaes VK e VK'. Os aflgulos VKV e 

 VK' F, que as reetas VD e VE formam com o piano G, sao por tanto eguaes 

 entre si e os dois hyperboioides de revolucao descriptos em torno de Fe re- 

 duzem-se a um so. Fica assim clemonstrado, que qualquer ponto Fsiluado no 

 piano //, e fora da recta VX, e centro de um hyperboloide de revolucSo, que 

 passa por VD e VE e, como estas duas reetas estao no mesmo piano, e fora de 

 duvida que ellas sao geratrizes de difference systema do hyperboloide em qnes- 

 tao. Do mesmo modo so prova, que qualquer ponto do piano P situado fora 

 de VZ e centro de um hyperboloide de revolugao, que contem as reetas da- 

 das. 



Qualquer ponto situado fora dos pianos H a P dista desegualmente das 

 reetas VD e VE e nao pode por isso ser centro de um. hyperboloide de re- 

 volugao, que contenha estas reetas. 



Os pianos da gola de todos os hyperboioides, csijos centros estao no piano 

 H, contem uma recta KK parallela a VZ e sao por consequencia parallelos a 

 esta recta. Os pianos da gola de todos os hyperboioides, que teem os centros 

 no piano P, sao parallelos a VK. 



As distancias de urn ponto M da bissectriz VX as reetas VD & VE sao 

 duas reetas MKe MK' siluadas no plan') Z VX e por consequencia este piano 

 contera os circulos da gola de todos os hyperboioides, que porvenlura lepham 

 os centros sobre VX. Exisiindo, porem, as reetas VD e VE no piano do cir- 

 culo da gola, os hyperboioides com centro era VX reduzir-se-hao todos a um 

 so piano D VE. 



ponto V poderia tomar-se para centro de uma infinidade de hyperbo- 

 ioides de revolugao, que passassem por VD e VE, se attendessemos unicamente 

 a que estas reetas formam angulos eguaes com qualquer piano conduzido por 

 VZou VX. Todos cstes hyperboioides, porem, teriam o circulo da gola redu- 

 zido a um ponto, e por isso transformar-se-hiam em cones de revolucao. 



34.— Qualquer recta descripta n'ura dos pianos H, ou P com a condigao 



